electrodynamics:res6.47 [Задачи по физике]

6.47. В бетатроне во время ускорения электрона магнитное поле непрерывно нарастает, порождая разгоняющую электрон эдс индукции, а орбита его остается неизменной. Доказать, что для ускорения электрона на орбите постоянного радиуса необходимо, чтобы полный магнитный поток $\Phi_2$, пронизывающий орбиту, был вдвое больше потока $\Phi_1$, который получился бы, если бы поле внутри орбиты было однородно и равно полю на орбите (бетатронное правило $2 : 1$).

Уравнение движения (не релятивистское) на орбите электрона описывается уравнением движения \[ \frac{d\vec P}{dt}=e\vec E +\frac{e}{c}\left[\vec v \vec B\right]. \] Поскольку по условию задачи мы хотим получить движение по окружности постоянного радиуса, импульс равно как и скорость направлены по касательной к окружности-траектории $\vec p=m\vec v=p\vec\tau$. Разложим вектор изменения импульса на касательную (вдоль $\vec \tau$) и нормальную $\vec n$ к орбите составляющие. \[ \frac{d\vec P}{dt}=\frac{d P}{dt}\vec \tau+p\frac{d\vec\tau}{dt}. \] В курсе механики (а также математики) показывалось, что \[ \frac{d\vec\tau}{dt}=\frac{v}{r_0}, \] где $v$ — модуль скорости на орбите, а $r_0$ — радиус этой орбиты. Тогда \[ \frac{d\vec P}{dt}=\frac{d P}{dt}\vec \tau+m\frac{v^2}{r_0}\vec n. \] Электрон ускоряется вихревым электрическим полем, возникающим за счет электромагнитной индукции и, используя интегральное выражение для закона электромагнитной индукции можем записать \[ \oint E_l dl=2\pi r_0 E=\frac{1}{c}\left|\frac{d\Phi}{dt}\right|, \] где $\Phi=\int \vec B d\vec S=\pi r_0^2 $, $$ — усредненное по площади орбиты мгновенное значение магнитного поля. Таким образом касательная проекция уравнения движения может быть записана в виде \[ \frac{d P}{dt}=eE=\frac{e r_0}{2c}\frac{d}{dt}. \] Нормальная компонента уравнения движения может быть записана в виде \[ \frac{m v^2}{r_0}=\frac{e v B(r_0)}{c},\;\;\text{откуда}\;\;mv=P=\frac{er_0B(r_0)}{c}. \] Взяв производную от полученного уравнения и приравнивая к полученному из тангенциальных компонент, получаем соотношение \[ \frac{d}{dt}B(r_0)=\frac{1}{2}\frac{d}{dt}, \] откуда \[ B(r_0)=\frac{1}{2}. \]