9. Точка движется в плоскости ху из положения с координатами $х_1 =y_1 = 0$ со скоростью $\vec v = a\vec i + bx \vec j$ (где $a, b$ — постоянные, $i, j$ — орты осей x и у). Определите: 1) уравнение траектории точки $y(x)$; 2) форму траектории.

Проекции скоростей в дифференциальном виде: $$ v_{x}=\frac{dx}{dt}=a, \ \ v_{y}=\frac{dy}{dt}=bx, $$ тогда, поделив второе на первое, получим $$\frac{dy}{dx}=\frac{b}{a}x$$ далее, домножив на $dx:$ $$dy=\frac{b}{a}xdx.$$ Осталось проинтегрировать: $$y=\int dy=\frac{b}{a}\int xdx=\frac{b}{a}\frac{x^{2}}{2}+\text{const}.$$ Константа определяется из условия $х_1=y_1=0$ и она равна нулю. Таким образом траектория $$y=\frac{b}{a}\frac{x^{2}}{2}.$$