1.49. Плоскость $z=0$ заряжена с плотностью $\sigma \left( {x,y} \right) = \sigma _0 \sin \left( {\alpha x} \right) \cdot \sin \left( {\beta y} \right)$, где $\sigma_0,\alpha,\beta$ – постоянные. Найти потенциал этой системы зарядов.

Потенциал $\varphi$ удовлетворяет уравнению Лапласа \begin{equation} \frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2\varphi}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2\varphi}{\partial z^2}=0. \end{equation} На заряженной плоскости нормальная составляющая электрического поля терпит разрыв \begin{equation} E_{2z}\big |_{z=0}-E_{1z}\big |_{z=0}=4\pi\sigma. \end{equation} Поскольку поверхностная плотность $\sigma$ есть произведение двух функций, одна из которых зависит только от координаты $x$, а другая от $y$, будем искать решение уравнения Лапласа в виде \begin{equation} \varphi(x,y,z)=\sin\alpha x \cdot \sin\beta y\cdot f_3(z). \end{equation} Подставим функцию $\varphi(x,y,z)$ в уравнение Лапласа и поделим каждое слагаемое на $\varphi$, получим \begin{equation} \frac{f''_3(z)}{f_3(z)}= -\biggl(\frac{(\sin\alpha x)''}{\sin\alpha x}+ \frac{(\sin\beta y)''}{\sin\beta y}\biggr). \end{equation} Чтобы это уравнение удовлетворялось при всех $x$, $y$, $z$, нужно приравнять каждое слагаемое константе. Пусть $$\frac{f''_3(z)}{f_3(z)}=\gamma^2=\alpha ^2 + \beta ^2.$$

Общим решением этого уравнения является функция $$f_3(z)=A e^{\textstyle -\gamma z}+B\,e^{\textstyle\gamma z}.$$

Понятно, что при стремлении $z\to\pm\infty\,,\;$ $f_3(z)$ не должна стремиться к бесконечности, поскольку поле создается знакопеременными зарядами. Этому условию можно удовлетворить, если записать решение, например, так: $$f_3(z)=A\,e^{\textstyle -\gamma|z|}.$$

Тогда: $$\varphi=A\,e^{\textstyle -\gamma|z|}\sin\alpha x\,\sin\beta y.$$

Нормальная составляющая электрического поля $E_z=- \partial\varphi/\partial z.$

Поэтому $$E_{2z}\big|_{z=0}=\gamma A\sin\alpha x\,\sin\beta y,$$ $$E_{1z}\big|_{z=0}=-\gamma A\sin\alpha x\,\sin\beta y.$$

Подставляя эти выражения в уравнение $E_{2z}\big |_{z=0}-E_{1z}\big |_{z=0}=4\pi\sigma$, найдем, что $A=2\sigma_0/\gamma$.

Окончательно распределение потенциала будет иметь вид