Если сфера заземлена, потенциал сферы равен нулю: ${\varphi(a)=0}$. Как показано в задаче 1.10, в системе двух разноименных зарядов имеется сферическая эквипотенциальная поверхность нулевого потенциала. Если заряд $q$ расположен на расстоянии $\ell$ от центра сферы радиуса $a$, то изображением этого заряда будет заряд $$ q'=-\frac{qa}{\ell}, $$ который следует поместить на расстояние $$ \ell'=\frac{a^2}{\ell} $$ от центра сферы. Таким образом, распределение потенциала и напряженности электрического поля вне сферы, создаваемое зарядом $q$ и индуцированными зарядами на сфере, совпадает с распределением потенциала и напряженности, создаваемым двумя точечными зарядами $q$ и $q'$: $$ \varphi=\frac{q}{r}-\frac{a}{\ell}\frac{q}{r'} \qquad \mbox{при} \qquad R\geq a\,, $$ $$ \vec{E}=\frac{q\vec{r}}{r^3}-q\frac{a}{\ell}\frac{\vec{r}'} {r'^3} \qquad \mbox{при} \qquad R>a, $$ где $r$ и $r'$ — расстояния до точки наблюдения от зарядов $q$ и $q'$ соответственно. Потенциал внутри сферы постоянен и равен потенциалу на сфере $\varphi(a)=0$.

На внутренней поверхности сферы нет зарядов. Потенциал внутри сферы удовлетворяет уравнению Лапласа $\Delta\varphi=0$. На стенках сферы он — константа, равная нулю. Решение, удовлетворяющее этому условию, можно указать сразу — это $\varphi=0$. По теореме единственности других решений быть не может. Значит, и $$\vec{E}=-\text{grad}\,\varphi=0 \hspace{10pt} \text{ для } R<a. $$

Найдем распределение поверхностной плотности заряда $\sigma$ по сфере. На заряженной поверхности, разделяющей области 1 и 2, в вакууме нормальные составляющие электрического поля терпят разрыв $$ E_{2R}\big|_{R=a}- E_{1R}\big|_{R=a}=4\pi\sigma. $$ Поскольку в нашем случае поле внутри проводящей сферы (толщина сферы не нулевая) равно нулю $E_{1R}\big|_{R=a}=0$, то $$ \sigma=\frac{1}{4\pi}E_{2R}\bigg|_{R=a}\;. $$

Найдём напряженность электрического поля на поверхности заземленной сферы. Заметим, что $$\vec{R}=\vec{r}+\vec{\ell}\;,$$ $$\vec{R}=\vec{r}'+\vec{\ell}'.$$ Используя эти соотношения, получаем $$\vec{E}=q\biggl[\Bigl(\frac{1}{r^3}-\frac{R}{\ell r'^3} \Bigr)\vec{R}+\Bigl(\frac{R}{\ell r'^3}\vec{\ell}'- \frac{\vec \ell}{r^3}\Bigr)\biggr]\;.$$ Покажем, что второе слагаемое в скобках равно нулю на поверхности сферы. Подставляя в него $r=r'\ell/a$ и $\ell'=a^2/\ell$, получаем $$\Bigl(\frac{R}{\ell r'^3}\vec{\ell}'- \frac{\ell}{r^3}\Bigr)\bigg|_{R=a}= \Bigl(\frac{a^3}{\ell r'^3}-\frac{1}{r^3}\Bigr)\vec{\ell}= \Bigl(\frac{a^3}{\ell^3}\frac{\ell^3}{a^3r^3}-\frac{1}{r^3}\Bigr) \vec{\ell}=0\;.$$

Таким образом, напряженность электрического поля на поверхности сферы, как и следовало ожидать, имеет только нормальную составляющую $$\vec{E}\big|_{R=a}=q\Bigl(\frac{1}{r^3}-\frac{R}{\ell r'^3} \Bigr)\vec{R}\;.$$ Выражая $r$ и $r'$ через координаты ($R\,,\,\theta\,,\,\alpha$) в сферической системе $$r=\bigl(R^2+\ell^2-2R\ell\cos\theta\bigr)^{1/2}\,,$$ $$r'=\bigl(R^2+\ell'^2-2R\ell' \cos\theta\bigr)^{1/2},$$ находим $$E_{2R}=-\frac{q(\ell^2-a^2)}{a(a^2+\ell^2-2a\ell\cos\theta)^{3/2}}.$$ Тогда \[ \sigma=-\frac{q(\ell^2-a^2)}{4\pi a(a^2+\ell^2-2a\ell\cos\theta)^{3/2}}. \]

Найдем полный заряд на полусфере, обращенной к заряду $q$. Заряд на кольце ширины $ad\theta$ радиуса $a\sin\theta$ равен $$dQ=\sigma\cdot 2\pi a^2\sin\theta\,d\theta\,.$$ Тогда величина заряда на полусфере, обращенной к заряду $q$, будет равна $$ Q_1=-2\pi a^2\int\limits_{0}^{\pi/2} \frac{q(\ell^2-a^2)\sin\theta\,d\theta} {4\pi a(a^2+\ell^2-2a\ell\cos\theta)^{3/2}}= $$ $$ \frac{q(\ell^2-a^2)}{2\ell} \biggl(\frac{1}{\sqrt{a^2+\ell^2}}-\frac{1}{\ell-a}\biggr)\,. $$

Таким же образом найдем заряд на противоположной полусфере: $$Q_2=\frac{q(\ell^2-a^2)}{2\ell}\biggl(\frac{1}{a+\ell}- \frac{1}{\sqrt{a^2+\ell^2}}\biggr)\,.$$ Суммарный заряд на сфере, как и следовало ожидать, $$Q=Q_1+Q_2=-q\frac{a}{\ell}.$$

То, что полный заряд на сфере равен $q'$, можно понять и не интегрируя поверхностную плотность. Действительно, мы нашли, что вне сферы поле $\vec{E}$ создается зарядами $q$ и $q'$. Поток вектора $Е$ через поверхность, внутри которой находится сфера без заряда $q$, определяется только полем, создаваемым зарядом $q'$, так как поверхность не охватывает заряд $q$, т. е. $\displaystyle\oint(\vec{E}\,d\vec{s})= 4\pi q'$. Но это и означает, что полный заряд на поверхности сферы равен $q'$.

Если сфера изолирована, то полный заряд сферы равен нулю, поэтому для определения поля вне сферы нужно поместить внутри сферы еще один фиктивный заряд $q''=-q'$. Это легко понять из следующих рассуждений. Вне сферы будет какое-то распределение напряженности электрического поля $\vec{E}$. Если взять поток вектора $\vec{E}$ через поверхность, окружающую сферу, но не окружающую заряд $q$, то он должен быть по теореме Гаусса равен полному заряду $Q$, находящемуся внутри объема, ограниченного этой поверхностью, умноженному на $4\pi$: $$\oint(\vec{E}\,d\vec{s})=4\pi Q\,.$$ Поскольку в действительности сфера не заряжена $Q=0$, поток должен быть равен нулю. Если мы оставим внутри сферы только заряд $q'$, то поток будет равен $$\oint(\vec{E}\,d\vec{s})=4\pi q',$$ что неверно, значит, внутрь сферы нужно поместить еще один заряд $q''$, равный по величине и противоположный по знаку заряду $q'$, $q''=~-q'$.

Заряд $q''$ нужно поместить в такую точку, чтобы сфера осталась эквипотенциальной поверхностью в системе трех зарядов. Такой точкой является центр сферы. Окончательно $$ \varphi(\vec{R})=\frac{q}{r}+\frac{q'}{r'}- \frac{q'}{R} \hspace{10pt} \mbox{при } \qquad R\geq a, $$ $$ \vec{E}(\vec{R})=\frac{q\vec{r}}{r^3}+\frac{q'\vec{r}'} {r'^3}- \frac{q'\vec{R}}{R^3} \hspace{10pt} \mbox{при } \qquad R> a. $$ Внутри сферы потенциал постоянен и равен потенциалу на сфере $$ \varphi(\vec{R})=\varphi(a)=\frac{q}{\ell} \hspace{10pt} \mbox{при } R\leq a, $$ а поле $\vec{E}=0$. Рассуждения такие же, как и для заземленной сферы.

Проводящая оболочка экранирует внешнее поле заряда $q$. Распределение заряда по поверхности будет иметь вид: $$\sigma=-\frac{q(\ell^2-a^2)}{4\pi a(a^2+\ell^2-2a\ell\cos\theta)^{3/2}}+ \frac{q}{4\pi a\ell}=$$ $$=\frac{q}{4\pi a^2}\biggl(\frac{a}{\ell}- \frac{a(\ell^2-a^2)}{(a^2+\ell^2-2a\ell\cos\theta)^{3/2}}\biggr)\,.$$

Заряд на сфере равен нулю, поскольку сфера была не заряжена. Если заменить сферу сферическим проводящим слоем некоторой толщины с внутренним радиусом, равным радиусу сферы, то поток вектора $\vec{E}$ через поверхность, проходящую в толще слоя, равен нулю, так как поле в проводнике $\vec{E}=0$. Отсюда следует, что на внутренней поверхности слоя индуцируется заряд $(-q)$, на внешней — $q$. Поля внесенного заряда $q$ и индуцированного на внутренней поверхности заряда $(-q)$ полностью компенсируют друг друга в толще слоя и во всем внешнем пространстве. Чтобы убедиться в этом, достаточно представить все внешнее пространство заполненным проводящей средой. В проводящей среде $\vec{E}=0$, поэтому $\rho=0$. Если теперь убрать электронейтральную среду, то ничего не изменится, поле останется равным нулю и распределение заряда на внутренней оболочке не зависит от толщины оболочки, а зависит только от места нахождения заряда $q$.

Чтобы индуцированный на внешней поверхности слоя заряд $q$ не создавал в толщине слоя поле, он должен распределиться равномерно. Понятно, что равномерность распределения заряда на внешней поверхности слоя сохранится, если толщину слоя устремить к нулю. Напряженность электрического поля вне сферы от равномерно распределенного по поверхности сферы заряда $q$ будет такая же, как от точечного заряда $q$, помещенного в центр сферы: $$\vec{E}(\vec{R})=\frac{q\vec{R}}{R^3} \qquad \mbox{при} \qquad R> a\,,$$ $$\varphi(\vec{R})=\frac{q}{R} \qquad \mbox{при} \qquad R\geq a\,.$$

Причем поле вне сферы не зависит от того, где внутри сферы находится внесенный заряд $q$.

Следует заметить, что потенциал вне сферы удовлетворяет уравнению Лапласа $\Delta\varphi=0\;$ и что этот потенциал на сфере должен быть константой. Но решение $\varphi=const$ и соответственно $\vec{E}=0$ во всей области вне сферы будет неверным. Действительно, проводящая сфера делит все пространство на две области: внутреннюю с границей, на которой заряд $(-q)$, и внешнюю с границей, где заряд $(+q)$. Из решения $\vec{E}=0$ следует, что на внешней границе $\sigma=0$. А это не верно.

Потенциал $$\varphi(\vec{R})=\frac{q}{r}+\frac{q'}{r'}+ const \qquad \mbox{при} \qquad R\leq a.$$

Из условия непрерывности потенциала на поверхности сферы следует, что $const=\frac qa$. Заряды $q$ и $q'$ обладают свойством взаимности: если $q'$ является изображением заряда $q\,$, то и обратно заряд $q\,$ является изображением заряда $q'$. Заряды $q\,$ и $q'$ создают на сфере потенциал, равный нулю. Напряженность электрического поля внутри сферы $$\vec{E}=\frac{q\vec{r}}{r^3}-q\frac{a}{\ell} \frac{\vec{r}'}{r'^3} \qquad \mbox{при} \qquad R<a.$$

Поступая так же, как при выводе формулы (2), находим распределение заряда на внутренней поверхности сферы: $$\sigma=-\frac{q(a^2-\ell^2)} {4\pi a(a^2+\ell^2-2a\ell\cos\theta)^{3/2}}\,.$$

Заряды на полусферах будут равны $$Q_1=\frac{q(a^2-\ell^2)}{2\ell} \biggl(\frac{1}{\sqrt{a^2+\ell^2}}-\frac{1}{a-\ell}\biggr),$$ $$Q_2=\frac{q(a^2-\ell^2)}{2\ell}\biggl(\frac{1}{a+\ell}- \frac{1}{\sqrt{a^2+\ell^2}}\biggr).$$

Полный заряд на внутренней поверхности сферы, как и следовало быть, $Q_1+Q_2=-q$.

Если заземлить сферу, рассмотренную выше, то потенциал сферы сравняется с потенциалом земли $\varphi=0$ и заряд $q$ с внешней поверхности сферы стечет в землю. Поэтому $$\varphi=0 \qquad\mbox{при} \qquad R\geq a,$$ $$\vec{E}=0 \qquad\mbox{при} \qquad R>a.$$

Напряженность электрического поля внутри сферы и распределение заряда по внутренней поверхности сферы не изменятся, останутся такими же, как для изолированной сферы. Потенциал $$\varphi(\vec{R})=\frac{q}{r}+\frac{q'}{r'} \qquad \mbox{при} \qquad R\leq a.$$

Таким образом, заземленная сфера экранирует поле заряда, помещенного внутрь сферы.