4.28. Два равномерно заряженных шарика с зарядами $q_1,q_2$ и радиусами $a_1,a_2$ вращаются без поступательного движения с угловыми скоростями $\omega_1,\omega_2$ так, что векторы $\vec{\omega}_1,\vec{\omega}_2$ перпендикулярны отрезку $\vec{\ell}$, соединяющему центры шаров $(\ell\gg a_1,a_2)$. Оценить силу взаимодействия шариков.

Выберем начало координат в центре шара (1). Ось $\,Z$ совпадает с направлением $\,\vec{\omega}_1$, центр второго шара находится на расстоянии $\ell$ в плоскости ($\,X\,,\;Y$). Сила взаимодействия шаров складывается из сил кулоновского и магнитного взаимодействий. Она может быть представлена как сила, действующая на шар 2 со стороны шара 1. Поскольку расстояние между шарами велико по сравнению с их размерами, то силу магнитного взаимодействия можно рассматривать как силу взаимодействия двух магнитных моментов: $$\vec{F}_m=(\vec{m}_2\,\vec{\nabla})\vec{H}_1\,,\qquad \vec{H}_1=\frac{3\vec{R}(\vec{R}\,\vec{m}_1)}{R^5}- \frac{\vec{m}_1}{R^3}\,,$$ где $\;\vec{m}_{1,2}=q_{1,2}a^2_{1,2}\vec{\omega}_{1,2}/5c$; $\,\vec{H}_1$ — поле, создаваемое магнитным моментом $\,\vec{m}_1$ на большом расстоянии, $\,\vec{m}_2$– магнитный момент шара (2). Поскольку у $\,\vec{m}_2$ есть только составляющая по $\,Z$, то скалярное произведение вектора $\,\vec{m}_2$ и вектора $\,\vec{\nabla}$ запишется так: $$(\vec{m}_2\,\vec{\nabla})=m_2\frac{\partial}{\partial z}\,,$$ а сила магнитного взаимодействия $$\vec{F}_m=m_2\frac{\partial}{\partial z} \bigg(\frac{3\vec{R}(\vec{R}\,\vec{m}_1)}{R^5}- \frac{\vec{m}_1}{R^3}\,\bigg)\,.$$ Далее, вычисляя производные по $\,z$, находим $$\frac{\partial}{\partial z}\bigg( \frac{3\vec{R}(\vec{R}\,\vec{m}_1)}{R^5}\,\bigg)= \frac{3\vec{m}_1z}{R^5}+\frac{3m_1\vec{R}}{R^5}- \frac{15z^2m_1\vec{R}}{R^7}\,.$$

$$\frac{\partial}{\partial z} \bigg(\frac{\vec{m}_1}{R^3}\,\bigg)= -\frac{3\vec{m}_1z}{R^5}\,.$$

Подставляя в найденные выражения $\,z=0\,,\;\vec{R}=\vec{\ell}$, окончательно получаем $$\vec{F}_m=\frac{3m_1m_2\vec{\ell}}{\ell^5}\,.$$ Таким образом, при $\,\ell\gg a_1,\,a_2$ полная сила взаимодействия $$\vec{F}=\frac{3}{25}\frac{q_1q_2}{c^2}\omega_1\omega_2 \frac{\vec{\ell}}{\ell^5}+\frac{q_1q_2\vec{\ell}}{\ell^3}\,.$$

Силу магнитного взаимодействия можно представить и так: $$\vec{F}_m= \text{grad}(\vec{m}_2\,\vec{H}_1)\bigg|_{\vec{R}=\vec{\ell}}= \text{grad} \Bigg(\frac{3(\vec{R}\,\vec{m}_2) (\vec{R}\,\vec{m}_1)}{R^5}- \frac{(\vec{m}_2\,\vec{m}_1)}{R^3}\,\Bigg) \Bigg|_{\vec{R}=\vec{\ell}}=$$ $$=-\text{grad}\Bigg(\frac{(\vec{m}_2\,\vec{m}_1)}{R^3}\,\Bigg) \Bigg|_{\vec{R}=\vec{\ell}}= \frac{3m_1m_2\vec{\ell}}{\ell^5}\,.$$