На рисунке показана часть сечения тороидального соленоида. Из симметрии системы очевидно, что силовые линии магнитного поля будут окружности, лежащие внутри соленоида в плоскостях, параллельных главной плоскости соленоида (плоскость XZ на рисунке). Используя теорему Стокса вдоль такой круговой силовой линии получим, что величина магнитного поля на этой линии \[ H=\frac{2JN}{c(b+x)}. \] Поток через один виток запишется в виде интеграла \[ \Phi_0=\int \vec B d \vec S=\frac{2JN}{c}\int\limits_{-a}^a \frac{d x}{b+x}2\int\limits_0^{\sqrt{a^2-x^2}}d y=\frac{4JN}{c}\int\limits_{-a}^a \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{b+x}d x. \] Обезразмерив переменные под интегралом, его можно привести к виду \[ Int=\int\limits_{-a}^a \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{b+x}d x=\alpha a \int\limits_{-1}^1 \frac{\sqrt{1-t^2}}{1+\alpha t}d t, \] где \(\alpha=\frac{a}{b}\). Сделав очевидную замену \(t=\cos\psi\), интеграл можно переписать в виде \[ Int=\alpha a \int\limits_{0}^\pi \frac{\sin^2\psi}{1+\alpha \cos\psi}d \psi. \] Вычисление интеграла даёт следующий результат: \[ Int=\frac{a}{\alpha} \pi\left[1-\sqrt{1-\alpha^2}\right]. \] Тогда, используя потокосцепление, можно записать для индуктивности \[ N\Phi_0=\frac{4JN^2}{c}{\pi b} \left[1-\sqrt{1-\left(\frac{a}{b}\right)^2}\right]=\frac{LJ}{c}. \] При \(b\to \infty \) разложив полученное решение по степеням \(a/b\) и приняв во внимание, что \(n = \frac{N}{2\pi b}=\text{const} \), получим \[ L = 4\pi N^2 \left( {b - \sqrt {b^2 - a^2 } } \right)\approx 4\pi N^2 \left(b - (b - \frac{a^2}{2b}) \right)= \frac{2\pi N^2a^2}{b}. \] Такой же результат получится если считать, что поле по сечению тора постоянно и равно \[ H=\frac{2JN}{cb}. \]

то интеграл легко вычисляется $$ \Phi_{0}=\frac{2JN}{c}\int\limits _{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}}\frac{dx}{b+x}\int\limits _{0}^{h}dy=\frac{2JNh}{c}\left.\ln(b+x)\right|_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}}=\frac{2JNh}{c}\ln(\frac{2b+a}{2b-a}) $$ и получается, что индуктивность \[ L = 2N^2 h\ln \frac{{2b + a}}{{2b - a}}. \] При $b\to \infty$ \[ L = 2N^2 h\ln \frac{1 + \frac{a}{2b}}{1 - \frac{a}{2b}}\approx 2N^2 h\ln (1 + 2\frac{a}{2b})\approx 2N^2 h\frac{a}{b}. \] Если ток течет по оболочке тора, то $L$ уменьшится в $N^2$ раз.