Автор профессор Владимир Вениаминович Иванов

Каждый интеграл, имеющий физическое происхождение, математиком воспринимается с трепетом и почтением. Например, изучение потока некоего магнитного поля через поперечное сечение тора сводится к вычислению интеграла $$ I(\beta) = \int\limits_{- 1}^1 \frac{\sqrt{1 - t^2}}{1 + \beta t} dt, $$ который, очевидно, сходится при $ |\beta| \le 1. $ Поскольку этот интеграл вызывает нетривиальный интерес у физиков, почему-то хочется сразу разложить его в ряд и побыстрее узнать ответ. Чтобы избавиться от проблем, связанных с границей круга сходимости, а также иметь возможность, если будет нужно, делить на $ \beta, $ заметим, что $$ I(\pm 1) = \pi \qquad и \qquad I(0) = \frac{\pi}{2}. $$ Словом, дело сводится к вычислению интеграла $ I(\beta) $ при $ 0 < |\beta| < 1. $

Вспоминая о сумме бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем $ -\beta t, $ в нашем случае по модулю не превосходящем $ |\beta|, $ мы приходим к замечательному разложению $$ I(\beta) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (- \beta)^n \int\limits_{- 1}^1 \sqrt{1 - t^2} \, t^n \,d t. $$ При нечетных $ n $ интегралы пропадают, так что $$ I(\beta) = 2 \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \beta^{2 n} \int\limits_0^1 \sqrt{1 - t^2} \, t^{2 n} \,d t = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \beta^{2 n} {\rm B}\left(\frac{3}{2}, n + \frac{1}{2}\right), $$ где, как хорошо известно и нам, и студентам ФФ, изучавшим анализ, а значит, знакомым с интегралами Эйлера, $$ {\rm B}\left(\frac{3}{2}, n + \frac{1}{2}\right) = \frac{{\rm \Gamma}(3/2)\,{\rm \Gamma}(n + 1/2)}{{\rm \Gamma}(n + 2)} = \pi (- 1)^n \frac{(1/2)\,(1/2 - 1)\, ... \, (1/2 - n)} {(n + 1)!}. $$ Иными словами, $$ I(\beta) = - \frac{\pi}{\beta^2} \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{(1/2)\,(1/2 - 1)\, ... \, (1/2 - n)}{(n + 1)!} (- \beta^2)^{n + 1}. $$ Мы видим здесь биномиальный ряд Ньютона без начального члена. Дополняя его этим членом, мы приходим к симпатичному ответу: $$ I(\beta) = \frac{\pi}{\beta^2} \left(1 - \sqrt{1 - \beta^2}\right). $$

Приятно отметить, что при $ \beta = \pm 1 $ эта формула дает верные значения интегралов $ I(\pm 1), $ а если перейти к пределу при $ \beta \to 0, $ получим правильное значение для $ I(0). $ В этом нет ничего удивительного, если вспомнить теорему Лебега о предельном переходе под знаком интеграла, где речь идет об «интегрируемой мажоранте». Здесь такая мажоранта есть, а именно: $$ 0 < \frac{\sqrt{1 - t^2}}{1 + \beta t} \le \frac{\sqrt{1 - |t|^2}}{1 - |t|} \le \frac{\sqrt 2}{\sqrt{1 - |t|}}, $$ где $ |t| < 1 $ и $ |\beta| \le 1. $ Это означает, в частности, что функция $ I(\beta) $ непрерывна на отрезке $ |\beta| \le 1. $ Таким образом, интегралы $ I(\pm 1) $ и $ I(0) $ можно отдельно и не считать.

Теперь, когда «магия магнетизма» уже не действует, хочется подумать и понять, почему же ряд благополучно просуммировался? Ответ ясен — изначально видно, что интеграл выражается через элементарные функции. Ясно также, что путь к нему должен быть проще. И вот, приходит в какое-то место такая мысль: а что, если поделить «столбиком» $ \cos^2 \varphi $ на $ 1 + \beta \sin \varphi $ ? С остатком, разумеется. Это легко: $$ \frac{\cos^2 \varphi}{1 + \beta \sin \varphi} = \frac{1 - \sin^2 \varphi}{1 + \beta \sin \varphi} = $$ $$ = - \frac{1}{\beta} \sin \varphi + \frac{1}{\beta^2} - \frac{1 - \beta^2}{\beta^2} \frac{1}{1 + \beta \sin \varphi}. $$ Если, как и прежде, $ |\beta| < 1, $ то $$ \int\limits_{- \pi/2}^{\pi/2} \frac{d \varphi}{1 + \beta \sin \varphi} = \frac{\pi}{\sqrt{1 - \beta^2}}, $$ что получается хрестоматийным способом — надо объявить $ \text{tg} (\varphi/2) $ новой переменной. Итак, $$ I(\beta) = \int\limits_{- 1}^1 \frac{\sqrt{1 - t^2}}{1 + \beta t} dt = \int\limits_{- \pi/2}^{\pi/2} \frac{\cos^2 \varphi} {1 + \beta \sin \varphi}\,d \varphi = $$ $$ = - \frac{1}{\beta} \int\limits_{- \pi/2}^{\pi/2} \sin \varphi \, d \varphi + \frac{1}{\beta^2} \int\limits_{- \pi/2}^{\pi/2} d \varphi - \frac{1 - \beta^2}{\beta^2} \int\limits_{- \pi/2}^{\pi/2} \frac{d \varphi}{1 + \beta \sin \varphi} = $$ $$ = \frac{\pi}{\beta^2} \left(1 - \sqrt{1 - \beta^2}\right), $$ в полном согласии с нашим прежним выводом.