1.31. Найти уравнение силовых линий точечного диполя с дипольным моментом $\vec{p}$, помещенного в начале координат. Нарисовать примерный вид силовых линий.

Для силовых линий характерно, что в каждой точке малый участок $\vec {d\ell}$ проходят касательно к силовой линии $\vec E$. Это приводит к тому, что векторное произведение $[\vec d\ell \times \vec E]=0$ будет нулевым. Это касается всех проекций. Тогда для $x$–овой компоненты $dy\cdot E_z - dz\cdot E_y=0$, следовательно \[ \frac{{dy }}{{E_y }} = \frac{{dz }}{{E_z }}. \] Аналогично для остальных компонент.

Выберем систему координат так, что диполь располагается вдоль оси \(z\) сферической системы координат. Уравнение силовых линий поля \(\vec E\) в произвольной ортогональной системе координат записывается в виде \[ \frac{{h_1 dq_1 }}{{E_1 }} = \frac{{h_2 dq_2 }}{{E_2 }} = \frac{{h_3 dq_3 }}{{E_3 }} \] Используя коэффициенты Ламе для сферической системы координат \(h_r = 1\), \(h_\theta = r\), \(h_\phi = r\sin \theta\) и с учётом того, что зависимости от угла $\phi $ нет, запишем: \[ (1) \hspace{10pt} \frac{{dr}}{{E_r }} = \frac{{rd\theta }}{{E_\theta }} \] В задаче 1.27 мы нашли поле диполя, распишем его компоненты: \[ E_r = (\vec E\cdot \frac{\vec r}{r}) = - \frac{p}{{r^3 }}\cos \theta + \frac{{3p\cos \theta }}{{r^3 }} = 2\frac{p}{{r^3 }}\cos \theta, \] где использовали $(\vec p\cdot \vec r) = pr\cos \theta .$ Компонента $E_\theta $ связана только с первым слагаемым: \[ E_\theta = \frac{p}{{r^3 }}\sin \theta , \] для проекции $E_\theta$ мы выбрали знак «$-$», так как направление увеличения угла $\theta$ идёт против часовой стрелки и направлено в противоположную сторону от направления диполя $\vec p$. Подставим, теперь, вычисленные значения $E_r, E_\theta $ в (1) \[ \frac{{r^3 dr}}{{2p\cos \theta }} = \frac{{r^4 d\theta }}{{p\sin \theta }} \] и произведём разделение переменных: \[ \frac{{dr}}{r} = 2\frac{{d\theta \cos \theta }}{{\sin \theta }}. \] Равенство может выполняться, если они равны константе: \[ \frac{{dr}}{r} = C_1 = 2\frac{{d\sin \theta }}{{\sin \theta }} = 2\ln \sin \theta, \] следовательно, после интегрирования \[ \ln r = C_1 = \ln (\sin ^2 \theta). \] Таким образом силовые линии описываются семейством кривых: