1.27. Найти потенциал и напряженность поля диполя с дипольным моментом $\vec{p}$.
Рассмотрим два одинаковых по величине и разных по знаку заряда,
находящихся на расстоянии \(a\) друг от друга (как на рисунке). Потенциал такой системы в некоторой точке можно записать (по принципу суперпозиции) как
\[
\varphi = q\left( {\frac{1}{{r_1 }} - \frac{1}{{r_2 }}} \right) .
\]
Для вычисления этого выражения используем приближение $r_1, r_2 \gg a.$
Используя векторное соотношение, \(\vec a +\vec r_1=\vec r_2\), можно получить $$ \frac 1{r_2}=\frac 1{\sqrt{(\vec r_2)^2}}=\frac 1{\sqrt{r_1^2+2(\vec r_1 \cdot \vec a) + a^2}}\approx \frac 1{r_1}\left( 1-\frac{(\vec r_1 \cdot \vec a)}{r_1^2}\right), $$ тогда:
\[ \varphi = \frac{(\vec r\cdot \vec p)}{r^3}, \]
где $\vec r= \vec r_1\approx \vec r_2$ и \(\vec p=q\vec a\). Вектор $\vec{p}$ — дипольный момент, направлен от $-q$ к $+q$. Поле в точке \(\vec r\)
\[ \vec E = - \nabla \left( {\frac{(\vec r\cdot \vec p)}{{r^3 }}} \right) = - \frac{{\vec p}}{{r^3 }} + \frac{{3\vec r\left( \vec r\cdot \vec p \right)}}{{r^5 }} \]
При выводе этого соотношения использовались правила обращения с оператором "набла" - \(\nabla\)