1.33. Сфера радиуса $a$ заряжена по поверхности по закону $\sigma\!=\!\sigma _0\!\cos \theta$. Найти потенциал и электрическое поле во всем пространстве.

Рассмотрим две области: внутри и снаружи сферы. Зарядов в этих областях нет, следовательно, потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа: $ \Delta\varphi=0.$

Запишем уравнение в сферических координатах: $$\Delta\varphi=\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2}\frac{\partial\varphi}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial\alpha^{2}}=0. $$

Так как зависимости от угла $\alpha $ нет, то третье слагаемое будет нулевым. Если поверхностный заряд зависит от угла $\theta$ по косинусу $\sigma=\sigma_{0}\cos\theta$, то искать зависимость потенциала от угла будем в виде $$ \varphi=R(r)\cos\theta. $$ Подставим потенциал в уравнение Лапласа: $$ \Delta\varphi=\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2}\frac{\partial R}{\partial r}\right)\cos\theta+\frac{R}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial\cos\theta}{\partial\theta}\right)=0. $$ Продифференцировав получим $$ \Delta\varphi=\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2}\frac{\partial R}{\partial r}\right)\cos\theta-\frac{2R\cos\theta}{r^{2}}=0. $$ Сокращая, придём к уравнению $$ \frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2}\frac{\partial R}{\partial r}\right)=2R. $$ Решение данного уравнения будем искать в виде: $R=Ar^{n}$ и подставив его придём к алгебраическому уравнению $n(n+1)=2,$ которое имеет два решения: $n=\{1;-2\}$. Общее решение запишется в виде: $$ R(r)=A\cdot r+\frac{B}{r^{2}}. $$

Таким образом, предварительно, потенциал внутри сферы: $$ \varphi_{1}=(A_{1}\cdot r+\frac{B_{1}}{r^{2}})\cos\theta $$ и снаружи сферы $$ \varphi_{2}=(A_{2}\cdot r+\frac{B_{2}}{r^{2}})\cos\theta. $$

Из физических соображений потенциал внутри сферы при стремлении $r\to0 $ не должен расходиться, следовательно, $B_{1}=0,$ а снаружи сферы он не должен расходиться при $r\to\infty,$ т.к. сфера нейтральна, следовательно, $A_{2}=0. $

Из непрерывности потенциала на границе получим первое соотношение: $$ A_{1}\cdot a=\frac{B_{2}}{a^{2}}. $$ Из скачка поля на границе $$ E_{n2}-E_{n1}=\left.\frac{\partial\varphi_{1}}{\partial r}\right|_{r=a}-\left.\frac{\partial\varphi_{2}}{\partial r}\right|_{r=a}=4\pi\sigma, $$ получим второе соотношение: $$ (A_{1}+2\frac{B_{2}}{a^{3}})\cos\theta=4\pi\sigma_{0}\cos\theta. $$

Решая систему придём к $$ A_{1}=\frac{4}{3}\pi\sigma_{0}, B_{2}=\frac{4}{3}\pi\sigma_{0}a^{3}. $$ Окончательно запишем потенциал потенциал внутри сферы:

и снаружи сферы

где ввели вектор дипольного момента $\vec p=\frac{4}{3}\pi\sigma_{0}a^{3} \vec n$, направленный от отрицательного к положительному заряду сферы.

Поле найдём взяв градиент от потенциала: