Ракета, масса $M$ которой в начальный момент времени равна 300 кг начинает выбрасывать продукты сгорания с относительной скоростью $u = 200$ м/с. Расход горючего $\mu = 100$ г/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха и внешним силовым полем, определите:

1) за какой промежуток времени скорость ракеты станет равной $v_1 = 50$ м/с;

2) скорость $v_2,$ которой достигнет ракета, если масса заряда $m_0 = 0,2$ кг.

Используем уравнение Мещерского

$$m\frac{dv}{dt}=F+\frac{dm}{dt}u$$

$$(M-\mu t)\frac{dv}{dt}=\mu u$$

$$dv=\mu u\frac{dt}{M-\mu t}$$

интегрируем

$$v=\int dv=\int\mu u\frac{dt}{M-\mu t}=u\ln\frac{M}{M-\mu t}$$ и если в конце разгона масса будет $m_{0},$ то $$v=u\ln\frac{M}{m_{0}}.$$

Если хотим найти время достижения скорости $v$, то разрешим относительно времени

$$e^{\frac{v}{u}}=\frac{M}{M-\mu t}$$ и окончательно $$t=\frac{M}{\mu}\left(1-e^{-\frac{v}{u}}\right).$$