9. Ракета поднимается с нулевой начальной скоростью вертикально вверх в однородном поле тяжести. Первоначальная масса ракеты (с топливом) равна $m_0.$ Скорость газовой струя постоянна и равна $u$ относительно ракеты. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти скорость $v$ ракеты в зависимости от ее массы $m$ и времени подъема $t.$

Запишем баланс сил и второй закон Ньютона для ракеты:

$ma=F-mg$, где $F$ — реактивная сила $F=\mu u$. Подставляя получим выражение для ускорения

$$a=\frac{dv}{dt}=\frac{\mu u}{m}-g.$$

Проинтегрируем с учётом зависящей от времени массы $\mu=\frac{dm}{dt},$ тогда $$dt=\frac{dm}{\mu}.$$

Интеграл:

$$v=\intop_{0}^{v}dv=\intop_{0}^{t}\left(\frac{\mu u}{m}-g\right)dt=\intop_{m_{0}}^{m}\frac{\mu u}{m}\frac{dm}{\mu}-\intop_{0}^{t}gdt=u\ln\frac{m}{m_{0}}-gt,$$

таким образом:

$$v=u\ln\frac{m}{m_{0}}-gt.$$