10. Тележка массой $M$ стоит на горизонтальной плоскости. На тележке укреплен математический маятник, имеющий массу $m$ и длину $\ell.$ В начальный момент тележка и маятник имели скорость, равную нулю, и нить маятника образовывала угол $\alpha $ с вертикалью. Найти скорость тележки в момент, когда маятник будет проходить через вертикальное положение. Колеса тележки считать не имеющими массы.

В начальном состоянии маятник обладает потенциальной энергией: $$W=mg\Delta h=mg\ell\left(1-\cos\alpha\right),$$ после того как шар опустился до минимальной точки вся потенциальная энергия перешла в кинетическую энергию шара и платформы: $$mg\ell\left(1-\cos\alpha\right)=\frac{1}{2}mv_{1}^{2}+\frac{1}{2}Mv_{2}^{2}.$$

Скорости связаны законом сохранения импульса:

$$0=mv_{1}+Mv_{2},$$

тогда $v_{1}=-v_{2}\frac{M}{m}$ и, следовательно,

$$mg\ell\left(1-\cos\alpha\right)=\frac{1}{2}mv_{1}^{2}+\frac{1}{2}Mv_{2}^{2}=$$ $$\frac{1}{2}Mv_{2}^{2}+\frac{1}{2}m\left(\frac{M}{m}\right)^{2}v_{2}^{2}=\frac{1}{2}Mv_{2}^{2}\left(1+\frac{M}{m}\right),$$

окончательно:

$$v_{2}=\sqrt{\frac{2m^{2}g\ell\left(1-\cos\alpha\right)}{M\left(m+M\right)}}=2m\sqrt{\frac{g\ell}{M\left(m+M\right)}}\sin\frac{\alpha}{2}.$$