8. Материальная точка начинает двигаться по окружности радиусом $r = 12,5$ см с постоянным тангенциальным ускорением $a\tau = 0,5$ см/с$^2.$ Определите: 1) момент времени, при котором вектор ускорения а образует с вектором скорости $v$ угол $\alpha = 45^\circ$; 2) путь, пройденный за это время движущейся точкой.

Скорость точки $v=a_{t}t,$ а нормальное ускорение как раз связано со скоростью: $$a_{n}=\frac{v^{2}}{r}=\frac{(a_{t}t)^{2}}{r}.$$ Угол между вектором ускорения и вектором скорости такой же как и между вектором ускорения и вектором тангенциального ускорения. Когда угол равен $\alpha=45^{\circ}$, то ускорение $a_{n}=a_{t},$ следовательно $\frac{(a_{t}t)^{2}}{r}=a_{t},$ тогда $$t=\sqrt{\frac{r}{a_{t}}}.$$ Пройденный путь $$s=\frac{a_{t}t^{2}}{2}=\frac{r}{2}.$$