Клин с углом наклона $45^\circ$ к горизонту находится на гладкой горизонтальной плоскости. С него без трения соскальзывает брусок с массой, равной массе клина. Найти ускорение клина.

Задачу решим не через силы.

В начальный момент времени зафиксируем общую для обоих тел точку и будем отслеживать её перемещение для этих двух тел. Для верхнего тела $m_{1}$ она будет с координатами $(x_{1},y_{1})$, а для нижнего тела она будет с координатой $(x_{2},y_{2})$, причём $y_{2}=const=0$.

Верхнее тело перемещается относительно нижнего $$(x_{2}-x_{1})\text{tg}\alpha=y_{1}.$$

В нашем случае $\alpha=45^{\circ}$, значит $\text{tg}\alpha=1$ и $x_{2}-x_{1}=y_{1}.$

Продифференцируем по времени, получим $v_{x2}-v_{x1}=v_{y1}.$

Центр масс $x(m_{1}+m_{2})=x_{1}m_{1}+x_{2}m_{2}$ со временем не меняется. Продифференцируем по времени

$$v_{x1}m_{1}+v_{x2}m_{2}=0.$$

В нашем случае $m_{1}=m_{2}$, тогда $v_{x1}+v_{x2}=0$.

С учётом этого $$v_{y1}= v_{x2}-v_{x1}= 2v_{2}.$$ Воспользуемся законом сохранения энергии $$m_{1}gy_{1}=\frac{1}{2}(m_{1}v_{1}^{2}+m_{2}v_{2}^{2})=$$ $$\frac{m}{2}(v_{x1}^{2}+v_{y1}^{2}+v_{2}^{2})= \frac{m}{2}(v_{2}^{2}+4v_{2}^{2}+v_{2}^{2}),$$ тогда $gy_{1}=3v_{2}^{2}$.

Продифференцируем по времени $gv_{y1}=3\left(2a_{2}v_{2}\right)$,

тогда $g2v_{2}=3\left(2a_{2}v_{2}\right)$ и окончательно $a_{2}=\frac{1}{3}g$.