Найти матрицы перехода сферической границы двух сред в параксиальном приближении и пустого пространства.

Пусть световой луч падает на сферическую границу раздела сред: из среды с показателем преломления $n_{1}$ в среду с показателем $n_{2}.$ Если угол распространения луча к оси составляет $\theta_{1},$ то угол падения к нормали поверхности будет — $\theta_{1}+\theta$, где $\text{tg}\ \theta=\frac{x}{R}$, $x$ — высота луча от оси, а $R$ — радиус кривизны.

После преломления угол к нормали $\beta$ найдём из закона Снеллиуса: $$n_{2}\sin\beta=n_{1}\sin\left(\theta_{1}+\theta\right).$$ Угол к оси будет $\theta_{2}=\beta-\theta$ и при малых углах $\theta_{1},\theta\ll\pi$ можно записать: $$ \theta_{2}=\beta-\theta\approx\frac{n_{1}}{n_{2}}\cdot\left(\theta_{1}+\theta\right)-\theta=\frac{n_{1}}{n_{2}}\theta_{1}+\left(\frac{n_{1}}{n_{2}}-1\right)\theta\approx $$ $$ \frac{n_{1}}{n_{2}}\theta_{1}+\left(\frac{n_{1}}{n_{2}}-1\right)\frac{x}{R}. $$

Тогда преобразование вектор–столбца $$\left(\begin{array}{c} x\\ \theta_{1} \end{array}\right), $$ где $x$ — высота вхождения луча, $\theta_{1}$ — угол, при прохождении такой границы описывается матрицей преобразования $$M=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ \frac{n_{1}-n_{2}}{n_{2}R} & \frac{n_{1}}{n_{2}} \end{array}\right) $$ так, что $$\left(\begin{array}{c} x'\\ \theta_{2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ \frac{n_{1}-n_{2}}{n_{2}R} & \frac{n_{1}}{n_{2}} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x\\ \theta_{1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} x\\ \frac{n_{1}-n_{2}}{n_{2}R}x+\frac{n_{1}}{n_{2}}\theta_{1} \end{array}\right).$$

Пустой промежуток длины $d$ описывается матрицей $$M=\left(\begin{array}{cc} 1 & d\\ 0 & 1 \end{array}\right)$$ так как угол не меняется, а смещение по $x$ зависит от промежутка так, что: $$x'=x+d\text{tg}\ \alpha\approx x+d\alpha$$ и в виде преобразования вектор–столбца:

$$\left(\begin{array}{c} x'\\ \alpha' \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 1 & d\\ 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x\\ \alpha \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} x+d\alpha\\ \alpha \end{array}\right). $$