1.37. Имеются две системы $N$ линз с одинаковыми фокусными расстояниями $|f|$ каждой линзы. Найти траекторию луча в каждой из систем, если расстояние между линзами — $d.$ Рассмотреть случаи:
а) система составлена только из собирающих линз. При каком соотношении $\frac df$ решение неустойчиво?
б) Система состоит из чередующихся рассеивающих и собирающих линз.
а)
Рассмотрим систему из собирающих линз, она состоит из одинаковых блоков — «линза + пустой промежуток», тогда матрица преобразования такого блока: $$ M=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ -\frac{1}{f} & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & d\\ 0 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 1 & d\\ -\frac{1}{f} & -\frac{d}{f}+1 \end{array}\right), $$ а прохождение $N$ таких блоков опишется матрицей $$ M_{N}=\left(\begin{array}{cc} 1 & d\\ -\frac{1}{f} & -\frac{d}{f}+1 \end{array}\right)^{N}. $$ Преобразование на $m$–том шаге можно записать в виде: $$ \left(\begin{array}{c} x_{m}\\ \alpha_{m} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 1 & d\\ -\frac{1}{f} & -\frac{d}{f}+1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_{m-1}\\ \alpha_{m-1} \end{array}\right), $$ а на $m+1$–ом шаге: $$\left(\begin{array}{c} x_{m+1}\\ \alpha_{m+1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 1 & d\\ -\frac{1}{f} & -\frac{d}{f}+1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_{m}\\ \alpha_{m} \end{array}\right). $$
Запишем преобразование в виде системы: $$x_{m}=x_{m-1}+d\alpha_{m-1};$$ $$\alpha_{m}=-\frac{x_{m-1}}{f}+\left(1-\frac{d}{f}\right)\alpha_{m-1};$$ $$x_{m+1}=x_{m}+d\alpha_{m};$$ $$\alpha_{m+1}=-\frac{x_{m}}{f}+\left(1-\frac{d}{f}\right)\alpha_{m}.$$
Из первого выразим угол
$$\alpha_{m-1}=d^{-1}\left(x_{m}-x_{m-1}\right)$$
и подставим его во второе равенство
$$\alpha_{m}=-\frac{x_{m-1}}{f}+\left(1-\frac{d}{f}\right)\alpha_{m-1}=-\frac{x_{m-1}}{f}+\left(1-\frac{d}{f}\right)d^{-1}\left(x_{m}-x_{m-1}\right)= $$ $$-\frac{1}{d}x_{m-1}+\left(\frac{1}{d}-\frac{1}{f}\right)x_{m}$$
и после подставки в третье равенство получим выражение
$$x_{m+1}=x_{m}+d\alpha_{m}=\left(2-\frac{d}{f}\right)x_{m}-x_{m-1}=2bx_{m}-x_{m-1},$$
являющееся линейным разностным уравнением. При задании граничного условия его решение единственно. Искать решение будем в виде $x_{m}=Ah^{m},$ тогда после подстановки придём к квадратному уравнению $h^{2}-2bh+1=0.$ Его решение $$h_{\{1,2\}}=b\pm\sqrt{b^{2}-1}=b\pm i\sqrt{1-b^{2}}.$$
Решение будет периодическим, если $$h_{\{1,2\}}=b\pm i\sqrt{1-b^{2}}=e^{\pm i\varphi},$$ где $\cos\varphi=b=1-\frac{d}{2f}$.
Таким образом, если $d>4f$, то $|\cos \varphi|>1$, значит при $d>4f$ — движение неустойчиво.