1. Углекислый газ массой $m=88$ г занимает при температуре $T=290$ К объем $V=1000$ см$^{3}$. Определите внутреннюю энергию газа, если: 1) газ идеальный; 2) газ реальный. Поправку $a$ примите равной 0,361 Н м$^{4}$/моль
Внутренняя энергия при идеальном газе $U_{1}=\nu C_{V}T$, где $C_{V}=\frac{i}{2}R$
Если газ реальный в описании газа Ван-дер-Ваальса, то $U_{2}=\nu\left(C_{V}T-\frac{a\nu}{V}\right)=U_{1}-\frac{a\nu^{2}}{V}$
2. Кислород ($\nu=2$ моль) занимает объем $V_{1}=1$ л. Определите изменение температуры кислорода, если он адиабатно расширяется в вакуум до объема $V_{2}=10$ л. Поправку $a$ примите равной 0,136 Н м$^{4}$/моль
$Q=\Delta U+A$
Адиабатно, значит $Q=0$, расширился в вакуум, значит $A=0,$ следовательно $\Delta U=U_{2}-U_{1}=0$.
$U_{1}=\nu\left(C_{V}T_{1}-\frac{a\nu}{V_{1}}\right)=U_{2}=\nu\left(C_{V}T_{2}-\frac{a\nu}{V_{2}}\right),$ следовательно, $T_{2}-T_{1}=\left.\frac{a\nu}{C_{V}}\left(\frac{1}{V_{2}}-\frac{1}{V_{1}}\right)\right|_{i=5}=\frac{2a\nu}{5R}\left(\frac{1}{V_{2}}-\frac{1}{V_{1}}\right)$
3. Азот ($\nu=3$ моль) расширяется в вакуум, в результате чего объем газа увеличивается от $V_{1}=1$ л до $V_{2}=5$ л. Какое количество теплоты $Q$ необходимо сообщить газу, чтобы его температура осталась неизменной? Поправку $a$ примите равной 0,136 Н м$^{4}$/моль$^{2}$
Из энергетического баланса $Q=\Delta U+A$ при расширении в вакуум, значит $A=0,$ следовательно $Q=\Delta U=U_{2}-U_{1}=\nu\left(C_{V}T_{2}-\frac{a\nu}{V_{2}}\right)-\nu\left(C_{V}T_{1}-\frac{a\nu}{V_{1}}\right)$ и при неизменной температуре $T_{1}=T_{2}$ получим $Q=a\nu^{2}\left(\frac{1}{V_{1}}-\frac{1}{V_{2}}\right)$
4. Кислород ($\nu=1$ моль) (реальный газ), занимавший при ${Т}_{1}=400$ К объем $V_{1}=1$ л, расширяется изотермически до $V_{2}=2V_{1}.$ Определите: 1) работу при расширении; 2) изменение внутренней энергии газа. Поправки $a$ и $b$ примите равными соответственно $0,136$ Н м$^{4}$/моль$^{2}$ и $3,17\cdot10^{-5}$ м$^{3}$/моль.
Для газа Ван-дер-Ваальса $p=\frac{\nu RT}{V-\nu b}-\frac{\nu^{2}a}{V^{2}}$ работу по-прежнему находим через интеграл:
$A=\int dA=\int pdV=\intop_{V_{1}}^{V_{2}}\left(\frac{\nu RT}{V-\nu b}-\frac{\nu^{2}a}{V^{2}}\right)dV=$
$\left.\left(\nu RT\ln\left(V-\nu b\right)+\frac{\nu^{2}a}{V}\right)\right|{}_{V_{1}}^{V_{2}}=\nu RT\ln\frac{V_{2}-\nu b}{V_{1}-\nu b}+\frac{\nu^{2}a}{V_{2}}-\frac{\nu^{2}a}{V_{1}}$
Изменение внутренней энергии мы уже находили, повторим:
$\Delta U=U_{2}-U_{1}=\nu\left(C_{V}T_{1}-\frac{a\nu}{V_{2}}\right)-\nu\left(C_{V}T_{1}-\frac{a\nu}{V_{1}}\right)=\frac{\nu^{2}a}{V_{1}}-\frac{\nu^{2}a}{V_{2}}$
5. Найти отношение давлений насыщенного пара при $t_{1}=50$ С и $t_{2}=100$ С. Теплоту парообразования считать постоянной и равной $q=550$ ккал/кг.
Для давления насыщенного пара используется формула $p=p_{0}\exp\left(\frac{\mu q}{R}\left(\frac{1}{T_{0}}-\frac{1}{T}\right)\right),$ тогда
$\frac{p_{1}}{p_{2}}=\exp\left(\frac{\mu q}{R}\left(\frac{1}{T_{2}}-\frac{1}{T_{1}}\right)\right)=\exp\left(\frac{\mu q}{R}\left(\frac{1}{t_{2}+273}-\frac{1}{t_{1}+273}\right)\right)$
6. В толстостенном закрытом сосуде помещен кусок льда, над которым находится насыщенный водяной пар. В сосуд можно нагнетать воздух до высокого давления. На сколько надо повысить давление воздуха в сосуде, чтобы давление насыщенного пара над льдом повысилось на один процент, если температура ($T=250$ К) поддерживается постоянной? Удельный объем льда $v_{{л}}=1,1$ см$^{3}$/г.
Изотермическое увеличение внешнего давления на $\Delta p$ увеличивает удельный термодинамический потенциал льда на $\Delta\varphi_{\text{л}}=v_{\text{л}}\Delta p,$ причем сжимаемостью льда можно пренебречь. Чтобы равновесие не нарушалось, на столько же должен возрасти удельный термодинамический потенциал пара. Но для пара $\Delta\varphi_{\text{п}}=v_{\text{п}}\Delta p=\frac{RT}{\mu p_{\text{п}}}\Delta p_{\text{п}}$. Приравнивая оба выражения, получим $\Delta p_{\text{п}}=\frac{RT\Delta p_{\text{п}}}{\mu p_{\text{п}}v_{\text{л}}}$.
7. Найти изменение температуры $\Delta T_{1}$ кипения воды при повышении внешнего давления на одну атм (избыточную). Вблизи точки кипения при нормальных условиях удельный объем пара $1650$ см$^{3}$/г, теплота парообразования $2263$ Дж/г. Найти изменение температуры $\Delta T_{2}$ кипения воды на высоте $h=2$ км над уровнем моря, считая атмосферу изотермической.
Из формулы давления насыщенного пара
$p=p_{0}\exp\left(\frac{\mu q}{R}\left(\frac{1}{T_{0}}-\frac{1}{T}\right)\right),$ используя $T=T_{0}+\Delta T_{1}$ запишем
$\ln\frac{p}{p_{0}}=\frac{\mu q}{R}\left(\frac{1}{T_{0}}-\frac{1}{T_{0}+\Delta T_{1}}\right)=\frac{\mu q}{RT_{0}}\left(1-\frac{1}{1+\frac{\Delta T_{1}}{T_{0}}}\right)\approx\frac{\mu q}{RT_{0}}\left(1-\left(1-\frac{\Delta T_{1}}{T_{0}}\right)\right)=\frac{\mu q\Delta T_{1}}{RT_{0}^{2}}$ тогда
$\Delta T_{1}=\frac{\ln2\cdot RT_{0}^{2}}{\mu q}$
Эту же формулу можно использовать и во втором случае, но надо выяснить как изменится давление на такой высоте? Об этом мы поговорим чуть позже.
8. Температура комнаты $t_{1}=18$ С, относительная влажность $w=0.5.$ В металлический чайник налили холодную воду. Какова температура $t_{2}$ воды, при которой чайник перестает запотевать?
9. Давления насыщенного ртутного пара при температурах Т1 = 100 C и Т2 = 120 С равны р1 =37,3 Па и р2 = 101,3 Па. Найти среднее значение удельной теплоты парообразования q ртути в указанном интервале температур.