При определении силы поверхностного натяжения капельным методом число капель глицерина, вытекающего из капилляра, составляет $n=50.$ Общая масса глицерина $m=1$ г, а диаметр шейки капли в момент отрыва $d=1$ мм. Определите поверхностное натяжение глицерина.

На рисунке стрелками показан диаметр шейки капли, которая её удерживает от падения. И если масса критическая, то сила тяжести $F=m_{0}g$ действующая на каплю, удерживается силой натяжения $F=\sigma\ell=\sigma\pi d.$ Масса одной капли $m_{0}=\frac{m}{n},$ так что окончательно $\sigma=\frac{mg}{\pi dn}.$

Две капли воды радиусом $r=1$ мм каждая слились в одну большую каплю. Считая процесс изотермическим, определите уменьшение \textbf{поверхностной энергии} при этом слиянии, если поверхностное натяжение воды $\sigma=73$ мН/м.

Поверхностная энергия связана с площадью поверхности и поверхностным натяжением $W=\sigma s$. В таком случае надо подсчитать как изменится площадь поверхности. Первоначально: $s_{1}=2\cdot\left(4\pi r^{2}\right)$. После слияния капель площадь $s_{2}=4\pi r_{2}^{2}$. Радиус узнаем из объёма образовавшейся капли: $V_{2}=2V_{1}=2\cdot\frac{4}{3}\pi r^{3}=\frac{4}{3}\pi r_{2}^{3}$, тогда $r_{2}=\sqrt[3]{2}r$. Ну и окончательно: $\Delta W=\sigma\left(s_{1}-s_{2}\right)=4\pi\sigma\left(2r^{2}-r_{2}^{2}\right)=4\pi r^{2}\sigma\left(2-\sqrt[3]{4}\right).$

Давление воздуха внутри мыльного пузыря на $p=200$ Па больше атмосферного. Определите диаметр $d$ пузыря. Поверхностное натяжение мыльного раствора $\sigma=40$ мН/м.

Для того, что бы найти дополнительное давление создаваемое поверхностным натяжением найдём сначала дополнительную энергию от этого поверхностного натяжения: $W=\sigma\left(2s\right)=8\pi r^{2}\sigma.$ Двойка перед площадью связана с тем, что у мыльного пузыря есть внешняя и внутренняя площадь, а при условии, что толщина пузыря много меньше радиуса, то эти площади, можно принять одинаковыми. Соответственно, радиальная сила действующая на поверхность $F=\frac{\partial W}{\partial r}=16\pi r\sigma,$ а давление $p=\frac{F}{s}=\frac{16\pi r\sigma}{4\pi r^{2}}=\frac{4\sigma}{r}=\frac{8\sigma}{d}.$ Тогда $d=\frac{8\sigma}{p}.$

Воздушный пузырек диаметром $d=0,02$ мм находится на глубине $h=25$ см под поверхностью воды. Определите давление воздуха в этом пузырьке. Атмосферное давление примите нормальным. Поверхностное натяжение воды $\sigma=73$ мН/м, а ее плотность $\rho=1$ г/см$^{3}$.

Давление будет складываться из давления на поверхности $p_{0}$, давление столба жидкости на глубине $p_{1}=\rho gh$ и поверхностного давления $p_{2}=\frac{2\sigma}{r}=\frac{4\sigma}{d}$. Так, что $p=p_{0}+p_{1}+p_{2}=p_{0}+\rho gh+\frac{4\sigma}{d}.$

Вертикальный стеклянный капилляр погружен в воду. Определите радиус кривизны мениска, если высота столба воды в трубке $h=20$ мм. Плотность воды $\rho=1$ г/см$^{3}$, поверхностное натяжение $\sigma=12$ мН/м.

Если пренебречь изменением давления жидкости на величине порядка радиуса капилляра $a$, равно как и изменения радиуса кривизны мениска, то $R=\frac{a}{\cos\theta},$ где $\theta$ краевой угол (или угол смачивания). За счёт кривизны мениска и поверхностного натяжения возникает разность давлений $\Delta p=\frac{2\sigma}{R}$, которая компенсирует давлением столба жидкости $\Delta p=\rho gh.$ Таким образом $\frac{2\sigma}{R}=\rho gh$ и окончательно $R=\frac{2\sigma}{\rho gh}.$

Капилляр, внутренний радиус которого $0,5$ мм, опущен в жидкость. Определите массу жидкости, поднявшейся в капилляре, если ее поверхностное натяжение равно $60$ мН/м.

Эту задачу мы практически только что уже решили, действительно, из $\Delta p=\frac{2\sigma}{R}=\rho gh$, где $R=\frac{r}{\cos\theta},$ где $\theta$ краевой угол (или угол смачивания). Найдём высоту подъёма: $h=\frac{2\sigma}{R\rho g}$. Тогда водяной столб в капилляре будет иметь массу $m=\rho V=\rho sh=\rho\pi r^{2}h=\rho\pi r^{2}\frac{2\sigma}{R\rho g}=\frac{2\pi\sigma r^{2}}{Rg}=\frac{2\pi\sigma r\cos\theta}{g}.$ Для полного ответа на вопрос в условии задачи не хватает только угла смачивания. В лучшем случае, при $\theta=0,$ получим $m=\frac{2\pi\sigma r}{g},$ а если $\theta=\frac{\pi}{2},$ то жидкость вообще не поднимется, а при $\theta=\pi$ вообще опустится на максимальную глубину.

В стеклянном капилляре диаметром $d=100$ мкм вода поднимается на высоту $h=30$ см. Определите поверхностное натяжение воды, если ее плотность $\rho=1$ г/см$^{3}$. Используйте условие полного смачивания, т.е. $\theta=0.$

Широкое колено $U$ образного манометра имеет диаметр $d_{1}=2$ мм, узкое $d_{2}=1$ мм. Определите разность $\Delta h$ уровней ртути в обоих коленах, если поверхностное натяжение ртути $\sigma=0,5$ Н/м, плотность ртути $\rho=13,6$ г/см$^{3}$, а краевой угол $\theta=138{^\circ}.$

Разность давлений, связанная со столбом жидкости $\Delta p=\rho g\Delta h$, и она компенсируется разностью давлений на поверхности $\Delta p=\frac{2\sigma}{R_{1}}-\frac{2\sigma}{R_{2}}=4\sigma\left|\cos\theta\left(\frac{1}{d_{1}}-\frac{1}{d_{2}}\right)\right|$. Так, что $\Delta h=\frac{4\sigma}{\rho g}\left|\cos\theta\left(\frac{1}{d_{1}}-\frac{1}{d_{2}}\right)\right|.$