Средняя квадратичная скорость некоторого газа при нормальных условиях равна $480$ м/с. Сколько молекул содержит $1$ г этого газа?

Воспользуемся распределением Максвелла о вероятности найти в газе молекулу со скоростью $\vec{v}=(v_{x},v_{y},v_{z})$ в виде $dW(\vec{v})=\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{\frac{3}{2}}\exp\left(-\frac{m\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}\right)}{2kT}\right)dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}.$

Так же как и в трёхмерном случае с вычислением объёмов перейдём от декартовых координат к полярным заменой: $(v_{x},v_{y},v_{z})\to(v,\theta,\alpha)$ как $v_{x}=v\sin\theta\cos\alpha,v_{y}=v\sin\theta\sin\alpha,v_{z}=v\cos\theta),$ тогда вероятность можно переписать в виде: $dW(\vec{v})=\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{\frac{3}{2}}\exp\left(-\frac{mv^{2}}{2kT}\right)v^{2}\sin\theta dv\,d\theta\,d\alpha.$ Если направления все равновероятны, то проинтегрировав по углам $\alpha$ в пределах от $0$ до $2\pi$ и по $\theta$ от $0$ до $\pi:$

$\intop_{0}^{\pi}\intop_{0}^{2\pi}\sin\theta d\theta\,d\alpha=4\pi,$

придём к виду: $dW(v)=4\pi\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{\frac{3}{2}}\exp\left(-\frac{mv^{2}}{2kT}\right)v^{2}dv.$

Проверим сначала, что интеграл по всем значениям для вероятности должен дать достоверное значение, т.е. единицу:

$W=\intop_{0}^{\infty}dW(v)=4\pi\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{\frac{3}{2}}\intop_{0}^{\infty}v^{2}\exp\left(-\frac{mv^{2}}{2kT}\right)dv=$

$=\frac{4}{\sqrt{\pi}}\intop_{0}^{\infty}t^{2}\exp\left(-t^{2}\right)dt=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\intop_{0}^{\infty}t\exp\left(-t^{2}\right)dt^{2}=$

$-\frac{2}{\sqrt{\pi}}\intop_{0}^{\infty}td\exp\left(-t^{2}\right).$

Далее воспользуемся формулой интегрирования по частям получающуюся из

$d(uv)=udv+vdu$

тогда

$\int udv=\int\left(d(uv)-vdu\right)=uv-\int vdu.$

Итак, применяя интегрирование по частям

$W=-\frac{2}{\sqrt{\pi}}\left(\left.t\exp\left(-t^{2}\right)\right|_{0}^{\infty}-\intop_{0}^{\infty}\exp\left(-t^{2}\right)dt\right)=$

$\frac{2}{\sqrt{\pi}}\intop_{0}^{\infty}\exp\left(-t^{2}\right)dt=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\frac{\sqrt{\pi}}{2}=1$

Воспользуемся теперь этим выражением для вычисления средней квадратичной скорости:

$\left\langle v^{2}\right\rangle =\intop_{0}^{\infty}v^{2}dW(v)=4\pi\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{\frac{3}{2}}\intop_{0}^{\infty}v^{4}\exp\left(-\frac{mv^{2}}{2kT}\right)dv=$

$\frac{4}{\sqrt{\pi}}\frac{2kT}{m}\intop_{0}^{\infty}t^{4}\exp\left(-t^{2}\right)dt$

Введём параметр и воспользуемся другим методом интегрирования \textemdash{} дифференцирование по параметру

$\left\langle v^{2}\right\rangle =\frac{4}{\sqrt{\pi}}\frac{2kT}{m}\left.\intop_{0}^{\infty}t^{4}\exp\left(-\alpha t^{2}\right)dt\right|_{\alpha=1}=\frac{4}{\sqrt{\pi}}\frac{2kT}{m}\left.\intop_{0}^{\infty}\frac{\partial^{2}}{\partial\alpha^{2}}\exp\left(-\alpha t^{2}\right)dt\right|_{\alpha=1}=$

$\frac{4}{\sqrt{\pi}}\frac{2kT}{m}\left.\frac{\partial^{2}}{\partial\alpha^{2}}\frac{\sqrt{\pi}}{2\alpha}\right|_{\alpha=1}=\frac{4}{\sqrt{\pi}}\frac{2kT}{m}\left.\frac{\partial^{2}}{\partial\alpha^{2}}\frac{\sqrt{\pi}}{2}\alpha^{-\frac{1}{2}}\right|_{\alpha=1}=$

$\frac{4}{\sqrt{\pi}}\frac{2kT}{m}\left.\frac{\sqrt{\pi}}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\alpha^{-\frac{1}{2}}\right|_{\alpha=1}=\frac{3kT}{m}$

Итак, средняя квадратичная скорость $v_{\text{кв}}=\sqrt{\left\langle v^{2}\right\rangle }=\sqrt{\frac{3kT}{m}}=\sqrt{\frac{3RT}{mN_{A}}}=\sqrt{\frac{3RT}{\mu}}$

С другой стороны $N=m\frac{N_{A}}{\mu}=N_{A}\frac{mv_{\text{кв}}^{2}}{3RT}.$

Определите давление, оказываемое газом на стенки сосуда, если его плотность равна $0,01$ кг/м$^{3}$, а средняя квадратичная скорость молекул газа составляет $480$ м/с.

С одной стороны $v_{\text{кв}}=\sqrt{\frac{3RT}{\mu}}$, с другой для идеального газа $pV=\frac{m}{\mu}RT=\frac{mv_{\text{кв}}^{2}}{3}.$ Откуда $p=\frac{\rho v_{\text{кв}}^{2}}{3}.$

Используя закон распределения молекул идеального газа по скоростям, найдите формулу наиболее вероятной скорости vв.

Распределение скоростей молекулы имеется в формуле распределения: $dW(v)=4\pi\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{\frac{3}{2}}v^{2}\exp\left(-\frac{mv^{2}}{2kT}\right)dv$ так, что $f(v)=4\pi\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{\frac{3}{2}}\exp\left(-\frac{mv^{2}}{2kT}\right)v^{2}$. Для нахождение наиболее вероятной скорости нам надо найти максимум для этой функции.

$0=\frac{\partial}{\partial v}f(v)=4\pi\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{\frac{3}{2}}\frac{\partial}{\partial v}\left(v^{2}\exp\left(-\frac{mv^{2}}{2kT}\right)\right)=4\pi\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{\frac{3}{2}}\left(2v\exp\left(-\frac{mv^{2}}{2kT}\right)-\frac{2mv^{3}}{2kT}\exp\left(-\frac{mv^{2}}{2kT}\right)\right)$

следовательно $1-\frac{mv^{2}}{2kT}=0$ и $v_{\text{в}}=\sqrt{\frac{2kT}{m}}=\sqrt{\frac{2}{3}}v_{\text{кв}}$

При какой температуре средняя квадратичная скорость молекул кислорода больше их наиболее вероятной скорости на 100 м/с.

Разность скоростей $\Delta v=v_{\text{кв}}-v_{\text{в}}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}-\sqrt{\frac{2kT}{m}}=\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\sqrt{\frac{kT}{m}}.$ Тогда $T=\frac{\Delta v}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\sqrt{\frac{m}{k}}=\frac{\Delta v}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\sqrt{\frac{\mu}{R}}.$

В сосуде, из которого предварительно откачан воздух, открывают кран с очень малым сечением $S.$ Через какое время давление воздуха внутри сосуда составит половину атмосферного? Процесс изотермичен, температура $T.$

Найдём поток молекул через малое отверстие $S.$ Рассмотрим небольшой объём вблизи отверстия и найдём кол-во частиц достигающих отверстия в единицу времени, т.е. поток:

$\frac{dN}{dt}=j=\int dj=\intop_{0}^{\infty}nv_{x}SdW(v_{x})=\intop_{0}^{\infty}nv_{x}S\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}\exp\left(-\frac{mv_{x}^{2}}{2kT}\right)dv_{x}=$

$\frac{nS}{2\sqrt{\pi}}\intop_{0}^{\infty}\sqrt{\frac{m}{2kT}}\exp\left(-\frac{mv_{x}^{2}}{2kT}\right)dv_{x}^{2}=\frac{nS}{2\sqrt{\pi}}\intop_{0}^{\infty}\sqrt{\frac{2kT}{m}}\exp\left(-t\right)dt=-\left.\frac{nS}{2\sqrt{\pi}}\sqrt{\frac{2kT}{m}}\exp\left(-t\right)\right|_{0}^{\infty}=nS\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}$

Рассмотрим поток через отверстия в обе стороны:

$\frac{dN}{dt}=j=j_{+}-j_{-}=\left(n_{0}-n\right)S\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}=\left(n_{0}-\frac{N}{V}\right)S\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}$

тогда

$\frac{dN}{N-Vn_{0}}=-\frac{S}{V}\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}dt$

Возьмём интеграл:

$\ln\frac{N-Vn_{0}}{-Vn_{0}}=-\frac{S}{V}\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}t$

тогда с учётом $p=nkT$

$\ln\left(1-\frac{n}{n_{0}}\right)=\ln\frac{1}{2}=-\frac{S}{V}\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}t$ и окончательно: $t=\frac{V\ln2}{S}\sqrt{\frac{2\pi m}{kT}}=\frac{V\ln2}{S}\sqrt{\frac{2\pi\mu}{RT}}$

На малое отверстие откачанного до глубокого вакуума сосуда, направлен поток молекул с одинаковой скоростью $v_{0},$ с концентрацией их в пучке $n_{0}.$ Найти равновесную концентрацию и температуру молекул в сосуде.

Рассмотрим поток через отверстия в обе стороны:

$\frac{dN}{dt}=j=j_{+}-j_{-}=\left(n_{0}-n\right)S\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}=\left(n_{0}-\frac{N}{V}\right)S\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}$

Используя функцию распределения молекул идеального газа по энергиям $f(W)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\left(kT\right)^{\frac{3}{2}}\sqrt{W}\exp\left(-\frac{W}{kT}\right)$, найдите наиболее вероятное значение энергии ее молекул.

Найдём экстремальное значение \textemdash{} $0=\frac{df}{dW}=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\left(kT\right)^{\frac{3}{2}}\frac{d\left(\sqrt{W}\exp\left(-\frac{W}{kT}\right)\right)}{dW}=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\left(kT\right)^{\frac{3}{2}}\left(\frac{1}{2\sqrt{W}}\exp\left(-\frac{W}{kT}\right)-\frac{\sqrt{W}}{kT}\exp\left(-\frac{W}{kT}\right)\right)$ следовательно, $W=\frac{kT}{2}$.

На какой высоте давление воздуха составляет 60\% от давления на уровне моря? Считайте, что температура воздуха везде одинакова и равна $t=10$ \textdegree С.

Используя барометрическую формулу $p=p_{0}\exp\left(-\frac{\mu g\Delta h}{RT}\right)$ найдём $\Delta h=\frac{RT\ln\frac{p_{0}}{p}}{\mu g}=\frac{R\left(t+273\right)\ln\frac{p_{0}}{p}}{\mu g}.$

Каково давление воздуха в шахте на глубине $h=1$ км, если считать, что температура по всей высоте постоянная и равна $t=22$ \textdegree С, а ускорение свободного падения не зависит от высоты? Давление воздуха у поверхности Земли примите равным $p_{0}.$

Используя барометрическую формулу $p=p_{0}\exp\left(-\frac{\mu g\Delta h}{RT}\right),$ подставим разность высот, которая, в данном случае, $\Delta h=0-h=-h$ будет отрицательной.

Определите отношение давления воздуха на высоте 1 км. к давлению на дне скважины глубиной 1 км. Воздух у поверхности Земли находится при нормальных условиях и его температура не зависит от высоты.