1. Азот массой $m=280$ г расширяется в результате изобарного процесса при давлении $P=1$ МПа. Определите: 1) работу расширения; 2) конечный объем газа, если на расширение затрачена теплота $Q=5$ кДж, к начальная температура азота $T_{1}=290$ К.

Запишем уравнение состояния идеального газа $PV=\frac{m}{\mu}RT$. Если давление постоянное, то изменение объёма связано с изменением температуры: $P\,dV=\frac{m}{\mu}R\,dT.$ С другой стороны работа \textemdash{} это $dA=PdV$, тогда $dA=PdV=\frac{m}{\mu}R\,dT.$ Осталось проинтегрировать: \[ A=\intop dA=\intop_{T_{1}}^{T_{2}}\frac{m}{\mu}R\,dT=\frac{m}{\mu}R\left(T_{2}-T_{1}\right). \]

Теплоёмкость для одного моля определяется как $C=\frac{\delta Q}{dT},$ тогда для изобарического процесса $\delta Q=\frac{m}{\mu}C_{p}dT,$ где $C_{p}=\frac{i+2}{2}R$ \textemdash{} для идеального газа с $i$ степенями свободы, в нашем случае для азота \textemdash{} двухатомной молекулы $i=5.$ Тогда $Q=\intop\delta Q=\intop_{T_{1}}^{T_{2}}C_{p}dT=C_{p}\left(T_{2}-T_{1}\right)=\frac{7}{2}R\left(T_{2}-T_{1}\right),$ следовательно, \[ A=\frac{m}{\mu}R\left(T_{2}-T_{1}\right)=\frac{2}{7}Q \]

Вспоминая $dA=PdV$ и интегрируя $A=\int_{V_{1}}^{V_{2}}PdV=P\left(V_{2}-V_{1}\right)$ найдём \[ V_{2}=V_{1}+\frac{A}{P}=\frac{m}{\mu}\frac{RT_{1}}{P}+\frac{A}{P}=\frac{1}{P}\left(\frac{m}{\mu}RT_{1}+\frac{2}{7}Q\right) \]