2.50. Диполь с моментом $\vec{p}_1$ находится в начале координат, а другой диполь с моментом $\vec{p}_2$ — в точке с радиус-вектором $\vec{r}$. Найти энергию взаимодействия этих диполей и действующую между ними силу. При какой ориентации диполей эта сила максимальна?

Напряженность электрического поля, создаваемого диполем $\vec{p}_1$ в точке $\vec{r}$ \[ \vec E = - \nabla \left( {\frac{{\vec r\vec p_1 }}{{r^3 }}} \right) = - \frac{{\vec p_1 }}{{r^3 }} + \frac{{3\vec r\left( {\vec r\vec p_1 } \right)}}{{r^5 }} \] Потенциальная энергия взаимодействия диполей $\vec{p}_1$ и $\vec{p}_2$ \[ U\left(\vec r \right) = - \left( {\vec p_2 \vec E} \right). \] или \[ U\left(\vec r \right) = \frac{{\vec p_2 \vec p_1 }}{{r^3 }} - \frac{{3\left( {\vec p_1 \vec r} \right)}{\left( {\vec p_2 \vec r} \right)}}{{r^5 }} = \frac{{p_2 p_1 }}{{r^3 }}\left( {\sin \theta _1 \sin \theta _2 \cos \phi - 2\cos \theta _1 \cos \theta _2 } \right), \] где \(\theta _1 = \left( \widehat {\vec{r}\vec{p}}_1 \right)\), \( \theta _2 = \left(\widehat{\vec{r}\vec{p}}_2 \right)\), \(\varphi\) – угол между плоскостями \(\left( {\vec p_1 \vec r} \right)\) и \(\left( {\vec p_2 \vec r} \right)\). \[ F_r = - \frac{{\partial U}}{{\partial r}} = \frac{{3p_2 p_1 \left( {\sin \theta _1 \sin \theta _2 \cos \phi - 2\cos \theta _1 \cos \theta _2 } \right)}}{{r^4 }} = \frac{{3U}}{r}. \] Очевидно, что выражение в скобках, зависящее от углов, имеет максимальное значение при \(\theta _1=\theta _2=0\). Это значение равно \(-2\), тогда \[ F_{\max } = - \frac{{6p_1 p_2 }}{{r^4 }}\,\, \text{(притяжение!)}, \] и это имеет место когда диполи параллельны.