6.50. В горизонтальной плоскости лежит проводник. Радиусы колец проводника, образующих «восьмерку», равны $a$ и $b$. По проводнику течет ток $J=J_0\sin \omega t$. В точке $A$ на расстоянии $R$ от точки самопересечения проводника расположен неподвижный заряд $Q$, Найти силу, действующую на этот заряд, $R\gg a,b$ и $OA$ составляет с вертикалью $OZ$ угол $\theta$.

Поскольку радиусы колец «восьмерки» малы по сравнению с расстоянием до точки наблюдения, то мы можем рассматривать каждое кольцо как магнитный диполь, создающий поле в точке А. Вспомним формулу поля магнитного поля, создаваемого магнитным диполем. \[ \vec B = \frac{{\vec m}}{{r^3 }} - \frac{{3\vec r\left( {\vec m\vec r} \right)}}{{r^5 }}, \] где \(\vec m\)~– магнитный момент кольца площадью \(S\) с током \(J\). \(\vec m=\frac{SJ}{c}\vec n\). Считая в первом приближении, что центры обеих колец находятся в начале координат, мы получим полный магнитный момент в виде \[ \vec m = \frac{\pi( b^2 - a^2)}{c}J. \] В силу принятого нами допущения – оба магнитных момента находятся в начале координат и направлены вдоль оси \(z\), возникающее от изменения во времени магнитного поля вихревое электрическое поле будет иметь осевую симметрию, а силовые линии электрического поля будут окружностями, лежащими в плоскости, перпендикулярной оси \(z\). Тогда, используя интегральную форму закона электромагнитной индукции, мы можем записать \[ E_{\varphi} \cdot 2\pi r\sin \theta = - \frac{1}{c}\frac{{d\Phi }}{{dt}} = -\frac{1}{c}\frac{d}{{dt}}\int {\vec Bd\vec S}. \] Поскольку поток вектора можно вычислять через любую поверхность, опирающуюся на заданный контур, в данном случае это удобно сделать выбрав в качестве поверхности часть сферы с центром в начале координат и радиусом \(R\). Тогда поток вектора \(\vec B\) можно записать в виде \[ \Phi=\int {\vec Bd\vec S}=\int {B_r } \cdot R^2 \sin \vartheta d\vartheta d\varphi, \;\;B_r=-2\frac{m\cos\theta}{R^3}. \] Производя элементарные вычисления, получим \[ E_{\varphi} = - \frac{{J_0\omega\pi }}{{c^2 R^2 }}\left( {b^2 - a^2 } \right) \cos \omega t\sin \theta. \] Можно вычислить электрическое поле используя векторный потенциал \(\vec A\) \[ \vec E = - \frac{1}{c}\frac{{\partial \vec A}}{{\partial t}}. \] По определению векторный потенциал магнитного диполя \[ \vec A = \frac{{\vec m \times \vec R}}{{R^3 }} = \frac{{\left( {\vec m_2 - \vec m_1 } \right) \times \vec R}}{{R^3 }}. \] Используя такое же приближение, как и выше – кольцо с током можно представить как магнитный диполь \[ \vec m = \frac{{JS}}{c}\vec n = \frac{{\pi \left( {b^2 - a^2 } \right)}}{c}J_0 \sin \omega t \cdot \vec e_z. \] Тогда \[ \vec E = \frac{1}{c}\frac{{\pi \left( {b^2 - a^2 } \right)}}{c}J_0 \omega\cos \omega t\frac{{\vec e_z \times \vec e_r }}{{R^2 }}, \] или \[ E_\varphi = \frac{{\pi \omega J_0 \left( {b^2 - a^2 } \right)}}{{c^2 r^2 }}\sin\theta \cos \omega t. \] Результат, конечно, совпадает с полученным ранее. Сила, действующая на заряд, \[ F_\varphi = - \frac{{Q\omega \pi J_0 \sin\theta }}{{c^2 R^2 }}\left( {b^2 - a^2 } \right)\cos \omega t. \]