8. Через блок перекинута невесомая нерастяжимая нить, к концам которой привязаны грузы с массами $m_1$ и $m_2.$ Блок поднимается вверх с ускорением $a.$ Найти ускорения грузов. Трения в блоке нет.

Пусть $a_{1}$ и $a_{2}$ — ускорения грузов с массами $m_{1}$ и $m_{2}$ в лабораторной системе отсчета. За положительное выберем их направление вниз. Поскольку нить невесомая и в блоке трение отсутствует, то натяжение нити по ее длине не меняется. Обозначим силу натяжения через $T$. В соответствии со вторым законом Ньютона уравнения движения для грузов имеют вид:

$$\left\{ \begin{array}{c} m_{1}a_{1}=m_{1}g-T\\ m_{2}a_{2}=m_{2}g-T \end{array}\right.$$

В силу того, что нить нерастяжимая, ускорения грузов в системе отсчета, связанной с блоком, равны по величине и противоположны по направлению. Это дает кинематическую связь ускорений:

$a_{1}+a_{2}=2a$

Решение уравнений дает:

$$a_{1}=\frac{m_{1}g-m_{2}(2a+g)}{m_{1}+m_{2}};\ \ a_{2}=\frac{m_{2}g-m_{1}(2a+g)}{m_{1}+m_{2}}$$