3.1. Два узких щелевых монохроматических источника света (длина волны $\lambda $) расположены на расстоянии $L$ от экрана и на расстоянии $2d$ друг от друга. Найти расстояние между полосами на экране.

Считаем, что свет от источников когерентный. Рассмотрим интенсивность падающего на экран света: $$I\sim E^{2}=\left|E_{1}e^{i\left(kl_{1}-\omega t\right)}+E_{2}e^{i\left(kl_{2}-\omega t\right)}\right|^{2}=$$ $$ \left(E_{1}e^{i\left(kl_{1}-\omega t\right)}+E_{2}e^{i\left(kl_{2}-\omega t\right)}\right)\left(E_{1}e^{i\left(kl_{1}-\omega t\right)}+E_{2}e^{i\left(kl_{2}-\omega t\right)}\right)^{*}=$$ $$\left(E_{1}e^{i\left(kl_{1}-\omega t\right)}+E_{2}e^{i\left(kl_{2}-\omega t\right)}\right)\left(E_{1}e^{-i\left(kl_{1}-\omega t\right)}+E_{2}e^{-i\left(kl_{2}-\omega t\right)}\right)=$$ $$E_{1}^{2}+E_{2}^{2}+E_{1}E_{2}\left(e^{ik\left(l_{1}-l_{2}\right)}+e^{ik\left(l_{2}-l_{1}\right)}\right)=E_{1}^{2}+E_{2}^{2}+2E_{1}E_{2}\cos k\left(l_{1}-l_{2}\right)$$ или $$I=I_{1}+I_{2}+2\sqrt{I_{1}I_{2}}\cos k\left(l_{1}-l_{2}\right).$$

Найдём разность расстояний пройденных лучами от щелей до экрана:

$$l_{1}^{2}=L^{2}+(x-d)^{2}=L^{2}+x^{2}+d^{2}-2xd,$$

$$l_{2}^{2}=L^{2}+(x+d)^{2}=L^{2}+x^{2}+d^{2}+2xd,$$

тогда, при условии, что $x,\,d\ll L$

$$l_{2}-l_{1}=\sqrt{L^{2}+x^{2}+d^{2}+2xd}-\sqrt{L^{2}+x^{2}+d^{2}-2xd}\approx$$

$$L\left(1+\frac{x^{2}+d^{2}}{2L^2}+\frac{xd}{L^2}\right)-L\left(1+\frac{x^{2}+d^{2}}{2L^2}-\frac{xd}{L^2}\right)\approx\frac{2xd}{L}.$$

Если $I_{1}=I_{2}=I_{0},$ то интенсивность можно записать в виде:

$$I=2I_{0}\left(1+\cos k\left(l_{1}-l_{2}\right)\right)=2I_{0}\left(1+\cos\frac{2kxd}{L}\right)$$

с учётом тригонометрического соотношения $2\cos^{2}\alpha=1+\cos2\alpha$:

$$I=4I_{0}\cos^{2}\frac{kxd}{L}.$$

Расстояние между полосами — это расстояние, например, между максимумами интенсивности, а максимумы будут при

$$\cos^{2}\frac{kxd}{L}=1,$$ т.е. при $$\frac{kx_{m}d}{L}=\pi m,$$ тогда $$\Delta x=x_{m+1}-x_{m}=\frac{\pi L}{kd}=\frac{\lambda L}{2d}.$$