5.24. Переходом из системы, где частица покоится, а ускорение её $\vec a,$ в систему, где её скорость $v\sim c,$ получить формулу полного излучения $4$–импульса: $$ \Delta p^i=-\frac{2e^4}{3m^2c^5}\int F_{k\ell}u^{\ell}F^{km}u_m \, dx^i. $$ В частности, $$ \Delta W=\frac{2e^{2}}{3c^{3}}\intop_{-\infty}^{\infty}\frac{a^{2}-\frac{1}{c^{2}}\left[\vec{v}\times\vec{a}\right]^{2}}{\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)^{3}}dt $$ или $$ \Delta W=\frac{2e^{4}}{3m^{2}c^{3}}\intop_{-\infty}^{\infty}\frac{\left(\vec{E}+\left[\frac{\vec{v}}{c}\times\vec{H}\right]\right)^{2}-\frac{1}{c^{2}}\left(\vec{E}\vec{v}\right)^{2}}{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}dt. $$

В системе координат, в которой частица покоится, дипольное излучение приводит к изменению энергии и импульса, которые можно записать в виде классических уравнений:

$$\frac{dW'}{dt'}=\frac{2e^{2}a^{2}}{3c^{3}},$$

$$\frac{dp'}{dt'}=0.$$

Производная от импульса равна нулю в силу симметрии излучения. Направим ось $X$ вдоль скорости частицы и применим к полученным соотношениям преобразование при переходе из движущейся системы в покоящуюся систему. Преобразование 4-х вектора:

$$\left(\begin{array}{c} \frac{dW}{c}\\ dp\\ 0\\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc} \gamma & \frac{v}{c}\gamma & 0 & 0\\ \frac{v}{c}\gamma & \gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \frac{dW'}{c}\\ 0\\ 0\\ 0 \end{array}\right)$$

тогда

$$\frac{dW}{c}=\gamma\frac{dW'}{c},\,dp=\frac{v}{c}\gamma\frac{dW'}{c}.$$

С учётом $dt=\gamma dt',$ получим

$$\frac{dW}{dt}=\frac{dW'}{dt'},\frac{\,dp}{dt}=\frac{v}{c^{2}}\gamma\frac{dW'}{dt'}.$$

Пусть ускорение частицы в собственной системе координат определяется внешним электрическим полем:

$\vec{a}'=\frac{e}{m}\vec{E,}$ тогда, для покоящейся частицы $v'=0$, следовательно $\left[\vec{v}\times\vec{H}\right]=0.$

Разложим поле на компоненты $$\vec{E}'=E'_{\Vert}+E'_{\bot}=E{}_{\Vert}+\gamma\left(E_{\bot}+\left[\vec{\beta}\times\vec{H}\right]\right).$$

Квадрат ускорения можно записать через компоненты электромагнитного поля в лабораторной системе отсчета в виде

$$a^{2}=\frac{e^{2}}{m^{2}}\left(E_{\Vert}^{2}+\gamma^{2}\left(E_{\bot}+\left[\vec{\beta}\times\vec{H}\right]\right)^{2}\right)\pm\frac{e^{2}}{m^{2}}\gamma^{2}E_{\Vert}^{2}=$$

$$\frac{e^{2}}{m^{2}}\gamma^{2}\left(E^{2}+\left[\vec{\beta}\times\vec{H}\right]^{2}+2\left(E_{\bot}\cdot\left[\vec{\beta}\times\vec{H}\right]\right)+\frac{1-\gamma^{2}}{\gamma^{2}}E_{\Vert}^{2}\right)=$$

$$\frac{e^{2}}{m^{2}}\gamma^{2}\left(\left(\vec{E}+\left[\vec{\beta}\times\vec{H}\right]\right)^{2}+\left(\vec{\beta}\cdot\vec{E}\right)^{2}\right).$$

Тогда полная интенсивность излучения

$$\frac{dW}{dt}=\frac{dW'}{dt'}=\frac{2e^{2}a^{2}}{3c^{3}}=\frac{2e^{4}}{3c^{3}m^{2}}\gamma^{2}\left(\left(\vec{E}+\left[\vec{\beta}\times\vec{H}\right]\right)^{2}+\left(\vec{\beta}\cdot\vec{E}\right)^{2}\right),$$

а полные потери энергии на излучение

$$\Delta W=\frac{2e^{4}}{3m^{2}c^{3}}\intop_{-\infty}^{\infty}\frac{\left(\vec{E}+\left[\frac{\vec{v}}{c}\times\vec{H}\right]\right)^{2}-\frac{1}{c^{2}}\left(\vec{E}\vec{v}\right)^{2}}{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}dt.$$