4.4. Найти поля излучения $\vec E$ и $\vec H$ для точечного диполя с дипольным моментом:

а) $\vec p = \vec p_0 e^{i\omega t}$;

б) $\vec m = \vec m_0 e^{i\omega t}$;

Указание: использовать результаты двух предыдущих задач.

Использовать результаты двух предыдущих задач что бы познакомится с вектором Герца. Мы к нему не будем обращаться.

Найдём сначала векторный потенциал в точке $\vec{r}=(x,y,z)$ находящейся на удалении от движущейся системы зарядов находящиеся вблизи $\vec{r}'=(x',y',z'),$ тогда $$\vec{A}(x,y,z,t)=\frac{\mu}{c}\int\frac{\vec{j}(x',y',z',t')}{R}dx'dy'dz',$$ где $$R=\sqrt{(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}.$$ Соответствующим выбором начальной точки отсчёта — в центре системы зарядов и при условии $r\gg r'$ получим $$R\approx r\left(1-\frac{\left(\vec{r}\cdot\vec{r}'\right)}{r^{2}}\right)=r-\left(\vec{n}\cdot\vec{r}'\right),$$ где $\vec{n}=\frac{\vec{r}}{r}$ — направление на точку наблюдения Так как сигнал от точки $\vec{r}'$ до $\vec{r}$ доходит за конечное время, то $$t'=t-\frac{R}{v}=t-\frac{R\sqrt{\varepsilon\mu}}{c}.$$ Если известен векторный потенциал, то поля найдём из $$\vec{B}=\text{rot }\vec{A}$$ и $$\frac{\varepsilon}{c}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}=\text{rot }\vec{H}.$$ Рассмотрим $${\vec{p}=\vec{p}_{0}e^{i\omega t}}.$$ Дополнительно будем считать, что $\varepsilon=\mu=1.$ Для векторного потенциала рассмотрим для простоты систему дискретных зарядов, тогда $$\vec{A}(t)\approx\frac{1}{cr}\sum e\vec{v}'(t') =\frac{1}{cr}\frac{\partial}{\partial t'}\sum e\vec{r}'(t')=$$ $$\frac{1}{cr}\frac{\partial}{\partial t'}\vec{p}'(t')=\frac{i\omega}{cr}\vec{p}_{0}e^{i\omega t'}=\frac{i\omega}{cr}\vec{p}_{0}e^{i\omega\left(t-\frac{R}{c}\right)}$$ $$\vec{B}=\text{rot }\vec{A}.$$ Далее будем считать $R\approx r$, и в сферических координатах $$A_{\theta}=-A\sin\theta,\,A_{r}=A\cos\theta .$$ Найдём поле. Так как $$\text{rot}{}_{r}\vec{A}=\frac{1}{r\sin\theta}\left(\frac{\partial\left(\sin\theta A_{\alpha}\right)}{\partial\theta}-\frac{\partial A_{\theta}}{\partial\alpha}\right), $$ $$ \text{rot}{}_{\theta}\vec{A}=\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial A_{r}}{\partial\alpha}-\frac{1}{r}\frac{\partial\left(rA_{\alpha}\right)}{\partial r}, $$ $$ \text{rot}{}_{\alpha}\vec{A}=\frac{1}{r}\frac{\partial\left(rA_{\theta}\right)}{\partial r}-\frac{1}{r}\frac{\partial A_{r}}{\partial\theta},$$ то ненулевая компонента $$B_{\alpha}=\text{rot}{}_{\alpha}\vec{A}=\frac{1}{r}\frac{i\omega}{c}p_{0}\frac{\partial\left(e^{i\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)}\right)\sin\theta}{\partial r}+\frac{i\omega}{cr^{2}}p_{0}e^{i\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)}\frac{\partial\cos\theta}{\partial\theta}=$$ $$\frac{1}{r}\frac{\omega^{2}}{c^{2}}p_{0}e^{i\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)}\sin\theta-\frac{i\omega}{cr^{2}}p_{0}e^{i\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)}\sin\theta= $$ $$\left(\frac{\omega}{c}-\frac{i}{r}\right)\frac{\omega}{cr}p_{0}e^{i\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)}\sin\theta.$$ Электрическое поле в силу $$\frac{1}{c}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}=\text{rot }\vec{H}$$ будем искать в виде $$\vec{E}=\vec{E}_{0}e^{i\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)},$$ тогда $$\frac{i\omega}{c}E_{r}=\text{rot}{}_{r}\vec{B}=\frac{1}{r\sin\theta}\left(\frac{\partial\left(\sin\theta B_{\alpha}\right)}{\partial\theta}-\frac{\partial B_{\theta}}{\partial\alpha}\right)=$$ $$ \frac{1}{r\sin\theta}\left(\frac{\omega}{c}-\frac{i}{r}\right)\frac{\omega}{cr}p_{0}e^{i\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)}\frac{\partial\left(\sin^{2}\theta\right)}{\partial\theta}=$$ $$ 2\left(\frac{\omega}{c}-\frac{i}{r}\right)\frac{\omega}{cr^{2}}p_{0}e^{i\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)}\cos\theta.$$ $$\frac{i\omega}{c}E_{\theta}=\text{rot}{}_{\theta}\vec{B}=\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial B_{r}}{\partial\alpha}-\frac{1}{r}\frac{\partial\left(rB_{\alpha}\right)}{\partial r}=$$ $$ -\frac{\frac{\omega}{c}p_{0}\sin\theta}{r}\frac{\partial\left(\left(\frac{\omega}{c}-\frac{i}{r}\right)e^{i\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)}\right)}{\partial r}=$$ $$\frac{i\frac{\omega}{c}p_{0}\sin\theta}{r^{3}}e^{i\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)}+\frac{i\frac{\omega^{2}}{c^{2}}p_{0}\sin\theta}{r}\left(\frac{\omega}{c}-\frac{i}{r}\right)e^{i\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)}=$$ $$ \left(\frac{1}{r^{2}}+\frac{\omega^{2}}{c^{2}}-\frac{i\omega}{rc}\right)i\frac{\omega}{rc}p_{0}\sin\theta e^{i\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)}.$$ Тогда $$E_{r}=-2\left(\frac{1}{r}+\frac{i\omega}{c}\right)\frac{p_{0}e^{i\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)}\cos\theta}{r^{2}},$$ $$E_{\theta}=\left(\frac{1}{r^{2}}+\frac{\omega^{2}}{c^{2}}-\frac{i\omega}{rc}\right)\frac{p_{0}\sin\theta e^{i\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)}}{r}.$$