6.33. Медный тонкостенный цилиндр массы $m$ и длины $\ell$ внесли в однородное магнитное поле параллельное оси цилиндра, после чего за очень короткий интервал времени $\tau$ поле быстро увеличили до значения $H_1$ и выключили. Известно, что цилиндр сжался без разрушения («магнитное обжатие»). Считая цилиндр длинным, а его форму после обжатия — цилиндрической, найти поле внутри цилиндра сразу после «обжатия» ($H_1=5$ кГс, $H_0=1$ кГс, $\tau=10^{-6}$ с, $m/\ell=1$ г/см. Силами упругой деформации пренебречь).

Предположим, что за время \(t, 0 \leq t \leq\tau\) когда поле снаружи стало \(H_1\), радиус цилиндра не успел измениться. Магнитное поле внутри определяется из закона сохранения магнитного потока через поперечное сечение цилиндра (приближение «сверхпроводимости» тонкого медного цилиндра) \[ \Phi = H_0 \pi r_0^2=H(r)\pi r^2, \] где \(r\) — текущий радиус сжимающегося цилиндра. Тогда поле внутри цилиндра \[ H(r)=H_0\frac{r_0^2}{r^2}. \] Уравнение движения элемента цилиндра длиной \(r\delta \varphi\) вдоль радиуса под действием разности давлений магнитных полей описывается уравнением \[ \frac{\delta \varphi}{2\pi}m\ddot r=-\frac{r \delta\varphi \ell}{8\pi}\left[H_1^2-H_0^2\frac{r_0^4}{r^4}\right], \] или, упрощая, получим \[ \ddot r=-\frac{r \ell}{4m}\left[H_1^2-H_0^2\frac{r_0^4}{r^4}\right]. \] Домножив обе части уравнения на \(\dot r\), можно привести уравнение к виду \[ \frac{d}{dt}{\dot r^2} = -\frac{\ell}{4m}\left[H_1^2\frac{d}{dt}r^2+H_0^2 r_0^4 \frac{d}{dt}\frac{1}{r^2}\right], \] откуда получаем решение \[ \dot r^2= -\frac{\ell}{4m}\left[H_1^2 r^2+H_0^2 \frac{r_0^4}{r^2}\right]+C_1. \] Из начальных условий получим \[ C_1=\frac{\ell}{4m}\left[H_1^2 r_0^2+H_0^2 r_0^2\right]. \] Считая, как указано выше, что цилиндр не сдвинулся с места при \(t, 0 \leq t \leq\tau\), т.е. \(\dot r=0\). Тогда \[ H_1^2 r^4+H_0^2r_0^4-\left(H_1^2+H_0^2\right)r_0^2 r^2=0, \] откуда, решая квадратное уравнение, получим \[ r=r_0\frac{H_0}{H_1},\;\;\text{и}\;\;H=\frac{H_1^2}{H_0}. \]