3.7. Из толстой длинной трубы с радиусами $a$ и $b$, сделанной из материала с проводимости $\sigma$, вырезана вдоль оси часть с угловым размером $\alpha_0$. К продольным плоскостям разреза подведено напряжение $U$. Найти распределение плотности тока $j(r)$ по сечению отрезка трубы и сопротивление единицы длины. Краевыми эффектами пренебречь.

В цилиндрической системе координат $j=j_{\alpha}$. Поскольку плотность тока~$j_{\alpha}$ зависит только от $\,r$, то $\;E_{\alpha}=j_{\alpha}/\sigma$ зависит тоже только от $\,r$. Тогда через интеграл по дуге определенного радиуса разность потенциалов или напряжение запишется так: $$U=\int\limits_{0}^{(2\pi-\alpha_0)r}(\vec{E}\,d\vec{r})= E_{\alpha}(r)(2\pi-\alpha_0)r,$$ откуда $$ E_{\alpha}(r)=\frac{U}{(2\pi-\alpha_0)r}$$ и, следовательно, $$ j_{\alpha}(r)=\frac{U\sigma}{(2\pi-\alpha_0)r}\,.$$ Найдем величину тока на единицу длины трубы: $$J=\int\limits_{a}^{b}j_{\alpha}(r)\,dr= \frac{U\sigma \ln b/a}{2\pi-\alpha_0}\,.$$

Поскольку $\,J=U/R$, то из последнего выражения следует, что сопротивление единицы длины трубы: $$R=\frac{2\pi-\alpha_0}{\sigma \ln b/a}\,.$$