3.16. Бипризма Френеля с углом при вершине $\alpha \ll 1,$ показателем преломления $n$ и расстоянием до экрана $a$ освещается узким щелевым источником $S,$ расположенным на расстоянии $b$ от бипризмы на оси симметрии. Излучение немонохроматично (диапазон длин волн от $\lambda $ до $\lambda + \Delta \lambda $). На каком расстоянии от точки O на экране интерференционные линии станут неразличимыми из–за немонохроматичности источника?

Разобьём задачу на две части. В первой — заменим освещение бипризмы от одного источника — эквивалентной схемой освещения от двух мнимых источников. Для этого найдём отклонение от прямолинейного распространения луча после прохождения призмы с углом при вершине $\alpha\ll1.$ Если направить луч перпендикулярно к плоскости одной грани призмы, то угол падения на вторую грань будет $\alpha,$ а на выходе из неё будет $\beta=n\alpha.$ Отклонение от первоначального распространения луча $$\gamma=\beta-\alpha=\left(n-1\right)\alpha .$$

Тогда расстояние от оси для мнимого источника $$d=|AC|=b\theta-b(\theta-\gamma)=b\gamma=b\left(n-1\right)\alpha .$$ Так как у нас не одна призма а две — бипризма, то появится 2 мнимых когерентных источника с расстоянием до экрана $a+b.$ В таком случае интерференционные максимумы (с учётом решения в задаче 3.2.) будут на расстоянии $x_{m}$ так, что $$\frac{kx_{m}d}{L}=\pi m ,$$ а минимумы при $$\frac{kx_{m}d}{L}=\pi m-\frac{\pi}{2}.$$

Перейдём теперь ко второй части задачи — учтём, что источник немонохромотичен (диапазон длин волн от $\lambda$ до $\lambda+\Delta\lambda$). Тогда, что бы линии стали неразличимыми необходимо что бы максимумы одной волны совпали с минимумами другой.

Сделаем такую оценку — когда это произойдёт?

Когда максимум $$\pi m=\frac{kx_{m}d}{L}=\frac{2\pi x_{m}d}{L\lambda}$$ совпадёт с минимумом $$\pi m-\frac{\pi}{2}=\frac{k'x_{m}d}{L}=\frac{2\pi x_{m}d}{L\left(\lambda+\Delta\lambda\right)}\approx\frac{2\pi x_{m}d}{L\lambda}\left(1-\frac{\Delta\lambda}{\lambda}\right).$$ Тогда $$\frac{2x_{m}d}{L\lambda}\frac{\Delta\lambda}{\lambda}=\frac{1}{2},$$ следовательно $$x_{m}=\frac{L\lambda^{2}}{4d\Delta\lambda}.$$

Осталось подставить параметры для $L$ и $d$ из первой части задачи:

$$x_{m}=\frac{\left(a+b\right)\lambda^{2}}{4b\left(n-1\right)\alpha\Delta\lambda}.$$