Найти коэффициенты отражения и прохождения для электромагнитной волны, падающей под углом $\varphi_{1}$ на плоскую границу между средами с диэлектрическими $\varepsilon_{1},\varepsilon_{2}$ и магнитными проницаемостями $\mu_{1},\mu_{2}.$ (Вывести формулы Френеля.)

На границе раздела свяжем тангенциальные компоненты электрического и магнитного полей.

Рассмотрим сначала TE–волну, т.е. такую линейно–поляризованную волну в которой электрическое поле имеет только тангенциальную компоненту, а магнитное поле как тангенциальную, так и нормальную.

$$E+E_{1}=E_{2}, \ \ \ H\sin\varphi+H_{1}\sin\varphi_{1}=H_{2}\sin\varphi_{2},$$

где $\varphi$ — угол падения к нормали. Запишем магнитное поле через электрическое:

$$[\vec{k}\times\vec{E}]=\frac{\omega}{c}\vec{B}=\frac{\omega\mu}{c}\vec{H},$$ вспоминая, что $k=k_{0}\sqrt{\varepsilon\mu}=\frac{\omega}{c}\sqrt{\varepsilon\mu}$

запишем

$$\sqrt{\varepsilon}[\vec{n}\times\vec{E}]=\sqrt{\mu}\vec{H},$$ где $\vec{n}=\frac{\vec{k}}{k}$ — направление распространения волны, тогда выбрав за направление $z$ направление распространения падающей волны, запишем условие для магнитного поля через электрическое:

$$\left\{ \begin{array}{l} E+E_{1}=E_{2}\\ \left(E-E_{1}\right)\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}=\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}E_{2}\cos\varphi_{2} \end{array}\right.$$

найдём

$$\left(E-E_{1}\right)\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}=\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\left(E+E_{1}\right)\cos\varphi_{2}$$

$$E\left(\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}-\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{2}\right)=E_{1}\left(\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}+\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{2}\right)$$

Для расчёта коэффициента отражения и прохождения необходимо использовать отношение потоков энергии, т.е. векторов Пойтинга

$$\vec{S}=\frac{c}{4\pi}[\vec{E}\times\vec{H}]=\frac{c}{4\pi}[\vec{E}\times\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}[\vec{n}\times\vec{E}]]=\frac{c}{4\pi}E^{2}\vec{n}.$$

Коэффициент отражения:

коэффициент прохождения найдём из закона сохранения энергии $\rho_{r}+\rho_{d}=1$:

Для TМ–волны, т.е. линейно–поляризованной волны в которой магнитное поле имеет только тангенциальную компоненту, а электрическое поле как тангенциальную, так и нормальную, первоначальные уравнения поменяются местами.

$$\left\{ \begin{array}{l} H+H_{1}=H_{2}\\ \left(E-E_{1}\right)\cos\varphi_{1}=E_{2}\cos\varphi_{2} \end{array}\right.$$

Всё выражая через электрическое поле:

$$\left\{ \begin{array}{l} \left(E+E_{1}\right)\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}=E_{2}\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\\ \left(E-E_{1}\right)\cos\varphi_{1}=E_{2}\cos\varphi_{2} \end{array}\right.$$

Решим систему:

$$\left(E-E_{1}\right)\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{1}=\left(E+E_{1}\right)\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{2}$$

$$E\left(\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{1}-\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{2}\right)=E_{1}\left(\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{1}+\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{2}\right)$$

Тогда коэффициент отражения:

коэффициент прохождения: