Определите среднюю длину свободного пробега $\lambda$ молекул кислорода, находящегося при температуре $0$ \textdegree С, если среднее число $\left\langle z\right\rangle $ столкновений, испытываемых молекулой в 1 с, равно $3,7\cdot10^{9}.$

Среднюю длину между столкновениями можно найти исходя из предположения о движении молекулы между столкновениями со средней скоростью. Тогда $\lambda=\frac{\left\langle v\right\rangle }{\left\langle z\right\rangle }.$

Среднюю скорость найдём из распределения Максвелла:

$\left\langle v\right\rangle =\intop_{0}^{\infty}vdW=\intop_{0}^{\infty}v4\pi\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{\frac{3}{2}}\exp\left(-\frac{mv^{2}}{2kT}\right)v^{2}dv=$

$2\pi\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{\frac{3}{2}}\intop_{0}^{\infty}\exp\left(-\frac{mv^{2}}{2kT}\right)v^{2}dv^{2}=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\sqrt{\frac{2kT}{m}}\intop_{0}^{\infty}\exp\left(-t\right)tdt=$

$\frac{2}{\sqrt{\pi}}\sqrt{\frac{2kT}{m}}\intop_{0}^{\infty}\exp\left(-t\alpha\right)tdt=-\frac{2}{\sqrt{\pi}}\sqrt{\frac{2kT}{m}}\intop_{0}^{\infty}\frac{\partial}{\partial\alpha}\exp\left(-t\alpha\right)dt=$

$\frac{2}{\sqrt{\pi}}\sqrt{\frac{2kT}{m}}\left.\frac{\partial}{\partial\alpha}\frac{\exp\left(-t\alpha\right)}{\alpha}\right|_{0}^{\infty}=-\frac{2}{\sqrt{\pi}}\sqrt{\frac{2kT}{m}}\frac{\partial}{\partial\alpha}\frac{1}{\alpha}=\sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}=\sqrt{\frac{8RT}{\pi\mu}}$

Подставив полученное выражение в первоначальную формулу, найдём среднюю длину свободного пробега $\lambda=\frac{\left\langle v\right\rangle }{\left\langle z\right\rangle }=\frac{1}{\left\langle z\right\rangle }\sqrt{\frac{8RT}{\pi\mu}}.$

Определите: 1) плотность воздуха в сосуде; 2) концентрацию $n$ его молекул; 3) среднюю длину свободного пробега $\lambda$ молекул, если сосуд откачан до давления $p=0,13$ Па. Диаметр молекул воздуха примите равным $d=0,27$ нм. Температура воздуха $T=300$ К.

Зная давление и температуру по формуле $p=nkT$ найдём концентрацию $n=\frac{p}{kT}.$ Без знания молярной массы мы, конечно, плотности. Но если $\mu$ молярная масса воздуха, то из уравнения состояния $pV=\frac{m}{\mu}RT$ найдём плотность $\rho=\frac{m}{V}=\frac{p\mu}{RT}.$

Ну и наконец среднюю длину свободного пробега $\lambda$ молекул можем оценить исходя из занимаемой эффективной площади молекулы при столкновениях $S\sim\pi d^{2}$ и объёма приходящегося на одну молекулу $V_{1}=\frac{1}{n}$. Тогда $\lambda=\frac{V_{1}}{S}\sim\frac{1}{\pi d^{2}n}$. Аккуратный учёт всех параметров даст $\lambda=\frac{1}{\pi\sqrt{2}d^{2}n}.$

Определите коэффициент теплопроводности азота, находящегося в некотором объеме при температуре $280$ К. Эффективный диаметр молекул азота примите равным $0,38$ нм.

Коэффициент теплопроводности как следует из названия отвечает за проводимость «тепла». Когда «тепло» начинает переходить от одного участка к другому это значит, что имеется разность температур или «градиент температур» $\text{grad }T=\nabla T$. Вполне логично, что чем больше разность температур, т.е. больше градиент, тем большее количество тепла в единицу времени будет переходить. В то же самое время чем через большую площадь происходит такая передача тепла тем так же будет быстрее передаваться тепло. На формальном языке можно записать: $dQ=IdSdt,$ где $I$ поток тепла и он $I\sim\nabla T.$ Коэффициент пропорциональности $I=-\varkappa\nabla T$ как раз и называется «коэффициентом теплопроводности». Оценим его значение.

Если у нас в одном моле $N_{A}$ молекул, то одна молекула несёт энергию $\varepsilon=\frac{U}{N_{A}}=\frac{C_{V}T}{N_{A}}.$ Рассмотрим вместе с потоком молекул $j=n\left\langle v\right\rangle $ и поток энергии (тепла), переносимый молекулами: $I\sim\varepsilon j.$ Тогда через некоторую плоскую границу итоговый поток определяется потоком в одну и в противоположную сторону: $I=I_{+}-I_{-}\sim\varepsilon_{1}n_{1}\left\langle v_{1}\right\rangle -\varepsilon_{2}n_{2}\left\langle v_{2}\right\rangle =\frac{C_{V}}{N_{A}}\left(T_{1}n_{1}\left\langle v_{1}\right\rangle -T_{2}n_{2}\left\langle v_{2}\right\rangle \right).$ Концентрацию найдём из $p=nkT$ и подставим, тогда: $I\sim\frac{C_{V}}{kN_{A}}\left(p_{1}\left\langle v_{1}\right\rangle -p_{2}\left\langle v_{2}\right\rangle \right).$ Если бы давления отличались, то это привело бы к перетеканию вещества, будем считать, что этого не происходит имеется только перетекание «тепла», тогда $p_{1}=p_{2}.$ С учётом того, что средняя скорость $\left\langle v_{i}\right\rangle =\sqrt{\frac{8RT_{i}}{\pi\mu}},$ и скорости слабо отличаются на длине свободного пробега, то разложим скорость в ряд: $\left\langle v\right\rangle =\left\langle v_{0}\right\rangle +\frac{\partial\left\langle v\right\rangle }{\partial x}\Delta x=\left\langle v_{0}\right\rangle +\frac{\partial\left\langle v\right\rangle }{\partial T}\frac{\partial T}{\partial x}\Delta x=\left\langle v_{0}\right\rangle +\frac{1}{2}\frac{\left\langle v\right\rangle }{T}\frac{\partial T}{\partial x}\lambda.$ Подставив $\left\langle v_{1}\right\rangle =\left\langle v_{2}\right\rangle +\frac{1}{2}\frac{\left\langle v\right\rangle }{T}\frac{\partial T}{\partial x}\lambda$ в наше выражение получим $I\sim\frac{C_{V}p}{kN_{A}}\left(\frac{1}{2}\frac{\left\langle v\right\rangle }{T}\frac{\partial T}{\partial x}\lambda\right)=\frac{1}{2}\frac{C_{V}p\left\langle v\right\rangle }{RT}\frac{\partial T}{\partial x}\lambda.$ Воспользовавшись ещё состоянием идеального газа $pV=\frac{m}{\mu}RT$ заменим $\frac{p}{RT}=\frac{m}{V\mu}=\frac{\rho}{\mu}$, тогда $I\sim\frac{1}{2}\frac{C_{V}\rho\left\langle v\right\rangle }{\mu}\frac{\partial T}{\partial x}\lambda.$ Осталось сравнить с выражением $I=\varkappa\nabla T$ что бы заключить, что $\varkappa\sim\frac{1}{2}\frac{C_{V}\rho\left\langle v\right\rangle }{\mu}\lambda=\frac{1}{2}\overline{C}_{V}\rho\left\langle v\right\rangle \lambda$, где $\overline{C}_{V}=\frac{C_{V}}{\mu}$ удельная теплоёмкость газа, в отличие от $C_{V}$ молярной. Более строгий учёт даст другой коэффициент пропорциональности так, что $\varkappa=\frac{1}{3}\overline{C}_{V}\rho\left\langle v\right\rangle \lambda$.

Вспоминая условие задачи, заменим длину свободного пробега $\lambda=\frac{1}{\pi\sqrt{2}d^{2}n}$ и скорость $\left\langle v\right\rangle =\sqrt{\frac{8RT}{\pi\mu}},$ тогда $\varkappa=\frac{1}{3}\frac{C_{V}\rho}{\mu}\sqrt{\frac{8RT}{\pi\mu}}\frac{1}{\pi\sqrt{2}d^{2}n}=\frac{1}{3}\frac{C_{V}m}{\mu V}\sqrt{\frac{8RT}{\pi\mu}}\frac{kT}{\pi\sqrt{2}d^{2}p}=\frac{2}{3}\sqrt{\frac{RT}{\pi\mu}}\frac{C_{V}}{\pi d^{2}N_{A}}=\left.\frac{i}{3}\sqrt{\frac{RT}{\pi\mu}}\frac{k}{\pi d^{2}}\right|_{i=5}$.

Пространство между двумя параллельными пластинами площадью $S=150$ см$^{2}$ каждая, находящимися на расстоянии $\ell=5$ мм друг от друга, заполнено кислородом. Одна пластина поддерживается при температуре $t_{1}=17$ \textdegree С, другая при температуре $t_{2}=27$ \textdegree С. Определите количество теплоты, прошедшее за $t=5$ мин посредством теплопроводности от одной пластины к другой. Кислород находится при нормальных условиях. Эффективный диаметр молекул кислорода считать равным $d=0,36$ нм.

Количество теплоты $Q=I\cdot S\cdot t=\varkappa\cdot\nabla T\cdot S\cdot t=\frac{i}{3}\sqrt{\frac{RT}{\pi\mu}}\frac{k}{\pi d^{2}}\cdot\frac{t_{2}-t_{1}}{\ell}\cdot S\cdot t$

Определите коэффициент диффузии $D$ кислорода при нормальных условиях. Эффективный диаметр молекул кислорода примите равным $0,36$ нм.

При обсуждении диффузии, мы можем воспользоваться всеми теми же рассуждениями, что и при теплопроводности с заменой от переноса энергии перейти к переносу вещества, а от градиента температур к градиенту вещества, тогда $j$ поток вещества при диффузии $j=-D\nabla n$, где $D=\frac{1}{3}\left\langle v\right\rangle \lambda.$ Произведя замену, получим $D=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{8RT}{\pi\mu}}\frac{1}{\pi\sqrt{2}d^{2}n}=\frac{2}{3}\sqrt{\frac{RT}{\pi\mu}}\frac{kT}{\pi d^{2}p}.$

Определите массу азота, прошедшего вследствие диффузии через площадку $50$ см$^{2}$ за $20$ с, если градиент плотности в направлении, перпендикулярном площадке, равен $\frac{d\rho}{dx}=1$ кг/м$^{4}$. Температура азота $290$ К, а средняя длина свободного пробега его молекул равна $\lambda=1$ мкм.

Домножив поток $j=-D\nabla n$ на массу молекулы найдём переносимую в единицу времени через единичную площадь массу, тогда $m=|D\frac{d\rho}{dx}\cdot St|=|\frac{1}{3}\left\langle v\right\rangle \lambda\frac{d\rho}{dx}\cdot St|=|\frac{1}{3}\sqrt{\frac{8RT}{\pi\mu}}\lambda\frac{d\rho}{dx}\cdot St|$

Ниже какого давления можно говорить о вакууме между стенками сосуда Дьюара, если расстояние между стенками сосуда равно $\ell=8$ мм, а температура $t=17$ \textdegree С? Эффективный диаметр молекул воздуха принять равным $d=0,27$ нм.

Под вакуумом можно считать такую концентрацию, когда столкновений между молекулами практически нет, т.е. столкновения между молекулами происходят не чаще чем столкновения со стенками сосуда. Тогда длина свободного пробега сравнивается с характерными размерами, т.е. $\ell\approx\lambda=\frac{1}{\pi\sqrt{2}d^{2}n}=\frac{kT}{\pi\sqrt{2}d^{2}p}$ и, следовательно, $p=\frac{kT}{\pi\sqrt{2}d^{2}\ell}.$

Давление разреженного газа в рентгеновской трубке при температуре $t=17$ \textdegree С равно $p=130$ мкПа. Можно ли вести разговор о высоком вакууме, если характерный размер $\ell_{0}$ (расстояние между катодом и анодом трубки) составляет $\ell_{0}=50$ мм? Эффективный диаметр молекул воздуха примите равным $d=0,27$ нм.

Рассчитаем длину свободного пробега $\lambda$ и сравним её с характерным размером $\ell_{0}$.

$\lambda=\frac{1}{\pi\sqrt{2}d^{2}n}=\frac{kT}{\pi\sqrt{2}d^{2}p}\approx\frac{1.4\cdot10^{-23}\cdot290}{\pi\sqrt{2}\left(3\cdot10^{-10}\right)^{2}\cdot1,3\cdot10^{-4}}\approx79\text{м}\gg\ell_{0}$

Следовательно да, вакуум высокий.

Сосуд разделен перегородкой на два равных объема. В перегородке имеются два отверстия малое и большое по сравнению с длиной свободного пробега молекул газа, заполняющего сосуд. Газ в первом объеме поддерживается при постоянной температуре $T_{1}=800$ K, а во втором сосуде при $T_{2}=200$ К. В каком направлении будет перетекать газ через малое отверстие, если перекрыть большое? Какая масса $\Delta m$ газа перейдет при этом из одного объема в другой, если общая масса газа в сосуде равна $m?$

Оценить время испарения воды из трубки длиной $10$ см, запаянной с одного конца. Температура комнатная. Первоначально вода заполняла трубку наполовину. Относительная влажность воздуха $50$ \%, давление насыщенных паров $27$ мм рт. ст. Длина свободного пробега молекул в системе воздух\textendash пар порядка $10^{-5}$ см. Пар у поверхности воды считать насыщенным, капиллярными явлениями пренебречь.