Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. Оцените энергию основного состояния частицы в следующих потенциалах: а) бесконечная прямоугольная яма шириной $a$; б) параболическая яма $U(x)=\frac 12 m\omega^2x^2$; в) кулоновский потенциал $U(r)=-\frac{e^2}{r}$. ----- {{ ::01.png?200 |}} Неопределённость по координате в такой яме порядка $a$. Тогда неопределённость в импульсе имеет порядок: $$ \Delta p\sim \frac{\hbar}{2a}. $$ Энергия частицы связана с импульсом соотношением: $$ E=\frac{p^2}{2m}. $$ Энергию основного состояния можно оценить, как: $$ E_0=\frac{(\Delta p)^2}{2m}=\frac{\hbar ^2}{8ma^2}. $$ {{ ::11-02.png?200 |}} Неопределённость по координате в такой яме порядка $a$. Тогда неопределённость в импульсе имеет порядок: $$ \Delta p\sim \frac{\hbar}{2a}. $$ Энергия частицы связана с импульсом соотношением: $$ E=\frac{p^2}{2m}+\frac{m\omega^2 x^2}{2}. $$ Выразим энергию через неопределённость в координате: $$ E=\frac{(\Delta p)^2}{2m}+\frac{m\omega^2 (\Delta x)^2}{2}= \frac{\hbar ^2}{8ma^2}+\frac{m\omega^2 a^2}{2}. $$ Найдём минимум этого выражения по $a$. Продифференцируем это выражение по $a$: $$ \frac{d}{da} E=-2\frac{\hbar ^2}{8ma^3}+2\frac{m\omega^2 a}{2}=0. $$ Решая это уравнение, найдём точку экстремума: $$ a=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}. $$ Подставив это значение в энергию, получим оценку основного состояния: $$ E=\frac{\hbar ^2}{8m\left(\frac{\hbar}{2m\omega} \right) }+\frac{m\omega^2 \left(\frac{\hbar}{2m\omega} \right)}{2} = \frac 12\hbar \omega . $$