Найти распределение потенциала $\varphi (x ,y)$ в плоском слое $0< x< d$, если $\varphi (0, y) = A \sin(\alpha y)$, $\varphi (d, y)=\varphi _0 + B \sin(\alpha y)$?

Будем искать решение в виде: $$\varphi=\varphi_{1}(x)\cdot\sin(\alpha y)+\varphi_{2}(x).$$ Так как между обкладками нет зарядов, то потенциал должен удовлетворять уравнению Лапласа: $$\Delta\varphi=\frac{\partial^{2}\varphi_{1}}{\partial x^{2}}\cdot\sin(\alpha y)-\alpha^{2}\varphi_{1}\cdot\sin(\alpha y)+\frac{\partial^{2}\varphi_{2}}{\partial x^{2}}=0.$$ Слагаемые с переменным $y$ и без него должны обращаться в ноль независимо, следовательно приходим к двум независимым уравнениям: $$\frac{\partial^{2}\varphi_{1}}{\partial x^{2}}=\alpha^{2}\varphi_{1}, \frac{\partial^{2}\varphi_{2}}{\partial x^{2}}=0.$$ Решение первого: $$\varphi_{1}=C\cdot e^{\alpha x}+D\cdot e^{-\alpha x}$$ и решение второго уравнения: $$\varphi_{2}=E\cdot x+F.$$ Рассмотрим уравнение на границе $$\varphi(0,y)=A\sin(\alpha y)=\left(C+D\right)\sin(\alpha y)+F$$ и на второй границе $$\varphi(d,y)=\varphi_{0}+B\sin(\alpha y)=\left(C\cdot e^{\alpha d}+D\cdot e^{-\alpha d}\right)\sin(\alpha y)+E\cdot d+F.$$ Тогда, определим коэффициенты: $$F=0, \varphi_{0}=E\cdot d,$$ следовательно: $$E=\frac{\varphi_{0}}{d}.$$ Для другой пары, получим систему: $$C+D=A, C\cdot e^{\alpha d}+D\cdot e^{-\alpha d}=B.$$ Решая её найдём: $$C=\frac{A\cdot e^{-\alpha d}-B}{-e^{\alpha d}+e^{-\alpha d}}=\frac{B-A\cdot e^{-\alpha d}}{2\cdot \text{sh} (\alpha d)},$$ $$D=-\frac{A\cdot e^{\alpha d}-B}{-e^{\alpha d}+e^{-\alpha d}}=\frac{A\cdot e^{\alpha d}-B}{2 \cdot \text{sh} (\alpha d)},$$ записав через гиперболический синус.

Окончательно запишем ответ: