2.15. Найти взаимную ёмкость двух шаров радиуса $a$, если расстояние между их центрами равно $b\gg 2a$.

Для поиска взаимной емкости необходимо поместить на каждый из шаров одинаковый (по модулю) заряд и посчитать емкость полученного «конденсатора». Пусть \(q_1 = - q_2\). Тогда потенциалы на поверхности первого и второго шаров соответственно \[ \begin{split} \varphi _1 &= q_1 \left( {\frac{1}{a} - \frac{1}{{b - a}}} \right),\\ \varphi _2 &= q_1 \left( {\frac{1}{{b - a}} - \frac{1}{a}} \right) . \end{split} \] Разность потенциалов: \[ \varphi _1 - \varphi _2 = 2q_1 \left( {\frac{1}{a} - \frac{1}{{b - a}}} \right) = 2q_1 \frac{{b - 2a}}{{a\left( {b - a} \right)}}. \] Ёмкость: \[ C = \frac{q_1}{{\Delta \varphi }} = \frac{a}{2}\frac{{b - a}}{{b - 2a}}. \] С учётом малости $2a\ll b$: \[ C = \frac{a}{2}\frac{1 - \frac ab}{1 - \frac{2a}b} \simeq \frac{a}{2}(1 - \frac ab)(1 + \frac{2a}b) \simeq \frac{a}{2}(1+\frac{a}{b}). \]