4.70. Плоская волна длиной $\lambda $ падает на систему двух свободных зарядов так, как показано на рисунке. Найти дифференциальное сечение рассеяния в зависимости от расстояния $d$ между зарядами. Для каких соотношений $\frac \lambda d$ при заданном $\Delta \lambda $ в падающей волне рассеяние некогерентно?

$$\vec{H}=\vec{H}_{1}+\vec{H}_{2}=\vec{H}_{1}+\vec{H}_{1}e^{-ik\Delta}=\vec{H}_{1}+\vec{H}_{1}e^{-ikd\cos\theta}=$$ $$\frac{1}{c^{2}r}\left[\ddot{\vec{p}}\times\vec{n}\right]\left(1+e^{ikd\cos\theta}\right)=$$ $$\frac{2e^{i\frac{1}{2}kd\cos\theta}}{c^{2}r}\left[\ddot{\vec{p}}\times\vec{n}\right]\cos\left(\frac{1}{2}kd\cos\theta\right).$$ Тогда $$\frac{dI}{d\Omega}=\frac{cH^{2}}{4\pi}r^{2}=\frac{\ddot{p}^{2}\sin^{2}\theta\cos^{2}\left(\frac{1}{2}kd\cos\theta\right)}{c^{3}\pi}.$$ Далее, как и в задаче 4.66, подставляем значение для дипольного момента и усредняем по времени: $$\left\langle \frac{dI}{d\Omega}\right\rangle =\frac{e^{4}E_{0}^{2}\sin^{2}\theta\cos^{2}\left(\frac{1}{2}kd\cos\theta\right)}{2\pi c^{3}m^{2}}.$$

Интенсивность падающей волны $$\left\langle S_{0}\right\rangle =\frac{cE_{0}^{2}}{8\pi},$$ окончательно получим $$\frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{\left\langle \frac{dI}{d\Omega}\right\rangle }{\left\langle S_{0}\right\rangle }=4\left(\frac{e^{2}}{mc^{2}}\right)^{2}\sin^{2}\theta\cos^{2}\left(\frac{1}{2}kd\cos\theta\right).$$ К вопросу о когерентности, в данном случае о длине когерентности$$\frac{\ell}{\lambda}\geq\frac{\lambda}{\Delta\lambda},$$ но в нашем случае $\ell=d\cos\theta$, тогда $$\frac{d}{\lambda}\geq\frac{\lambda}{\Delta\lambda\cos\theta}.$$