5.1. В пространстве, заполненном магнетиком с проницаемостью $\mu_1$, расположен бесконечный прямолинейный проводник с током $J$ вдоль оси $Z$. Проводящая сфера с центром в начале координат (радиус $a$) заменяет соответствующую часть линейного проводника. Внутри сферы — магнетик с проницаемостью $\mu_2$. Найти $\vec{B}$ и $\vec{H}$ всюду.

В силу осевой симметрии силовые линии магнитного поля имеют только \(\alpha\)-тую составляющую т.е. \[H_z = H_r = 0.\] Записывая теорему Стокса с использованием интеграла по силовой линии вне сферы и проводника мы получим \[ \oint \vec H d \vec{\ell} = H_{\alpha} 2 \pi r =\frac{4\pi}{c}I,\] откуда \[ H_{\alpha}=\frac{{2I}}{{cr}},\;\;\vec B_{\alpha} = \mu _1 \vec H_{\alpha}.\] Внутри сферы \[\vec H = 0,\;\;\vec B=0.\] Все граничные условия на сфере выполняются:

• непрерывность нормальной составляющей \(B_n\) — нормальная составляющая равна нулю с обеих сторон поверхности,
• граничное условие для \(H_{\tau}\):

$$ H_{\tau 2}-H_{\tau 1}=\frac{4\pi i}{c}, $$ где $i=\frac{I}{2\pi r}$ — поверхностная плотность тока, тогда $$ H_{\tau 2}=\frac{2 I}{cr}, $$ совпадает с нашим выражением, полученным ранее $H_{\alpha}$.