2.47. Внутри плоского конденсатора с площадью пластин $S$ и расстоянием $d$ между ними находится пластинка из стекла, целиком заполняющая пространство между пластинами конденсатора. Диэлектрическая проницаемость стекла — $\varepsilon$. Как изменится энергия конденсатора, если удалить стеклянную пластинку? Решить задачу при условиях:

а) конденсатор все время присоединен к батарее с ЭДС ${\cal{E}}$;

б) конденсатор был сначала подсоединен к той же батарее, а затем отключен и только после этого пластинка была удалена.

Найти механическую работу, которая затрачивается на удаление пластинки в том и другом случае.

б) Начнём с более простого, второго варианта. Так как конденсатор сначала подключили к конденсатору и зарядили его, а потом отключили и удалили пластину, то в этом процессе неизменным был заряд на пластине — $Q=C_{\varepsilon}{\cal{E}}$. Работа на перемещение равна разности энергий: $$ A=-\Delta W_{12}= -(W_1-W_2)=\frac{Q^2}{2C}-\frac{Q^2}{2C_{\varepsilon}}, $$ где $C_{\varepsilon}=\varepsilon C$ — ёмкость конденсатора со стеклянной пластиной. Так как энергия в конечном состоянии $W_2\ge W_1$ (равенство при $\varepsilon = 1$) увеличивается, то работа положительная. $$ A=\frac{Q^2}{2C}-\frac{Q^2}{2C_{\varepsilon}}=\frac{Q^2}{2C}(1-\frac{1}{\varepsilon})=\frac{\varepsilon (\varepsilon-1){\cal E}^2C}{2}. $$

а) В первом случае, когда конденсатор постоянно подключен к батарее с ЭДС ${\cal{E}}$:

$$\Delta W_{12}= W_1-W_2 = \frac{{\left( {\varepsilon -1} \right)C{\cal E}^2 }}{2}.$$

Т.е. энергия конденсатора уменьшилась, разность энергий положительна, будет ли тогда работа отрицательной, т.е. совершаться самим конденсатором приводя к выталкиванию пластины? Опыт показывает, что нет. И действительно, нам необходимо ещё учесть работу по перемещению заряда на конденсаторе, ведь при постоянном напряжении на обкладках конденсатора и переменной ёмкости — заряд должен измениться и перейти в источник ЭДС. Первоначальный заряд $Q_1=\varepsilon C{\cal{E}}$, а после извлечения пластины $Q_2=C{\cal{E}}$, тогда общий баланс энергий: $$W_1+A=W_2+(Q_1-Q_2){\cal E}$$ так, что $$A=-\Delta W_{12}+(\varepsilon C{\cal{E}}-C{\cal{E}}){\cal{E}}=$$ $$A=-\frac{{\left( {\varepsilon -1} \right)C{\cal E}^2 }}{2}+(\varepsilon-1)C{\cal E}^2 =\frac{{\left( {\varepsilon -1} \right)C{\cal E}^2 }}{2}.$$