2.48. Найти энергию электростатического поля заряженного равномерно по объему шара через плотность энергии и через плотность заряда и потенциал. Заряд шара $Q$, радиус $R$.

Энергия электростатического поля может быть подсчитана по двум эквивалентным формулам: \begin{eqnarray} W&=&\frac{1}{8\pi}\int(\vec{E}\vec{D})\,dV \\ W&=& \frac{1}{2}\int\varphi\,dq=\frac{1}{2}\int\rho\varphi\,dV\,, \end{eqnarray} где $\vec{E}$, $\vec{D}$ — векторы электрической напряженности и электрической индукции поля, $\varphi$ — потенциал поля в месте нахождения заряда $dq$.

Первый интеграл берется по всему объему, где $\vec{E}\ne 0$, во втором интеграле интегрирование ведется по всем зарядам системы.

Найдем энергию электростатического поля шара, равномерно заряженного с плотностью $\rho$. Используя распределение поля для заряженного шара (см. задачу 1.23) и полагая $\varepsilon=1$, находим $$W=\frac{1}{8\pi}\biggl[\int\limits_0^a\Bigl(\frac{4}{3} \pi\rho\Bigr)^2R^2\cdot 4\pi R^2\,dR+ \int\limits_a^\infty\Bigl(\frac{4}{3} \pi\rho\Bigr)^2\frac{a^6}{R^4}\cdot 4\pi R^2\,dR\biggr]= \frac{3}{5}\,\frac{Q^2}{a}\,,$$ где $Q=\frac{4}{3}\pi a^3\rho$ — полный заряд шара.

Распределение потенциала внутри шара (см. задачу 1.47) $$\varphi(R)=\frac{Q}{a}+ \frac{Q}{2a}\biggl(1-\frac{R^2}{a^2}\biggr) \qquad\mbox{при}\qquad R\leq a\,.$$ Подставляя потенциал, получаем $$W=\frac{1}{2}\int\limits_0^a\biggl[ \frac{Q}{a}+ \frac{Q}{2a}\Bigl(1-\frac{R^2}{a^2}\Bigr)\biggr]\,\rho\cdot 4\pi R^2\,dR=\frac{3}{5}\,\frac{Q^2}{a}.$$ Энергию можно найти и как работу, которую нужно совершить, чтобы «слепить» равномерно заряженный шар. Если уже «слепили» шар радиуса $R$, то, чтобы нарастить его на $dR$, нужно добавить к нему заряд $dQ=\rho\cdot 4\pi R^2\,dR$. Работа, которую следует совершить, чтобы преодолеть силу отталкивания при наращивании слоя толщиной $dR$, равна $$dA=\frac{4}{3}\pi\rho\frac{R^3}{R}\cdot \rho\cdot 4\pi R^2\, dR=\frac{3Q^2R\,^4}{a^6}\,dR\,.$$ Интегрируя по всем слоям, находим $$W=A=\frac{3Q^2}{a^6}\int\limits_0^a R\,^4\,dR=\frac{3}{5} \frac{Q^2}{a}\,.$$