4.18. Два бесконечных прямолинейных тока $J$ текут в противоположных направлениях. Найти первый неисчезающий член разложения для расстояний $r\gg a$: а) векторного потенциала; б) магнитного поля. Токи параллельны оси $Z$.

Нас интересует область \(r \gg a\) \[ r_1^2 = r^2 + a^2 + 2ar\cos \theta \] \[ A_z = A_{z_1 } + A_{z_2 } = \frac{{2J}}{c}\ln r_1 - \frac{{2J}}{c}\ln r_2 = \frac{{2J}}{c}\ln \frac{{r_1 }}{{r_2 }} = \frac{{2J}}{c}\ln \frac{{\sqrt {r^2 + a^2 + 2ar\cos \theta } }}{{\sqrt {r^2 + a^2 - 2ar\cos \theta } }} \] Тогда, учитывая малость \(a/r\), можно записать \[ A_z=\frac{J}{c}\ln \frac{{r\sqrt {1 + \left( {\frac{a}{r}} \right)^2 + \frac{{2a}}{r}\cos \theta } }}{{r\sqrt {1 + \left( {\frac{a}{r}} \right)^2 - \frac{{2a}}{r}\cos \theta } }} \approx \frac{{I4a}}{{cr}}\cos \theta = 2\frac{{\left[ {\vec m\vec r} \right]}}{{r^2 }}, \] где \[ \vec m = \frac{{2J}}{c}\left[ {\vec a \times \vec e_z } \right], \] а вектор \(\vec a\) направлен от центра системы координат вправо.

Тогда, вычисляя \(\vec H=\text{rot} \vec A\) в цилиндрической системе координат, получим \[ \begin{split} H_r &= - \frac{{4Ja}}{{cr^2 }}\sin \theta ,\\ H_\theta &= \frac{{4Ja}}{{cr^2 }}\cos \theta ,\\ H_z &=0. \end{split} \] или \[\vec H = - \frac{{2\vec m}}{{r^2 }} + \frac{{4\left( {\vec m\vec r} \right)\vec r}}{{r^4 }}.\]