Найти коэффициенты отражения и прохождения для электромагнитной волны, падающей нормально на плоскую границу между вакуумом и средой с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$ и магнитной проницаемостью $\mu.$

На границе раздела электрические и магнитные поля имеют только тангенциальную компоненту. Для определенности рассмотрим только одну поляризацию, так что падающая волна — $Ee^{i(kz-\omega t)},$ отражённая — $E_{1}e^{i(-kz-\omega t)}$ и прошедшая — $E_{2}e^{i(k_{2}z-\omega t)}$. Запишем условие на границе для тангенциальных компонент полей, но так как имеются только тангенциальные компоненты, то

$$E+E_{1}=E_{2}, \ \ H+H_{1}=H_{2}.$$

Запишем магнитное поле через электрическое:

$$[\vec{k}\times\vec{E}]=\frac{\omega}{c}\vec{B}=\frac{\omega\mu}{c}\vec{H},$$ вспоминая, что $k=k_{0}\sqrt{\varepsilon\mu}=\frac{\omega}{c}\sqrt{\varepsilon\mu}$ запишем $$\sqrt{\varepsilon}[\vec{n}\times\vec{E}]=\sqrt{\mu}\vec{H},$$ где $\vec{n}=\frac{\vec{k}}{k}$ — направление распространения волны. Выбрав за направление $z$ направление распространения падающей волны, запишем условие для магнитного поля через электрическое:

$$E-E_{1}=\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}E_{2}.$$

Тогда из системы

$$ \left\{ \begin{array}{l} E+E_{1}=E_{2}\\ E-E_{1}=\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}E_{2} \end{array}\right. $$

найдём $$E_{1}=E\frac{1-\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}}{1+\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}},$$ и $$E_{2}=\frac{2E}{1+\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}}.$$

Для расчёта коэффициента отражения и прохождения необходимо использовать отношение потоков энергии, т.е. векторов Пойтинга

$$\vec{S}=\frac{c}{4\pi}[\vec{E}\times\vec{H}]=\frac{c}{4\pi}[\vec{E}\times\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}[\vec{n}\times\vec{E}]]=\frac{c}{4\pi}\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}E^{2}\vec{n}.$$

Коэффициент отражения: $$\rho_{r}=\frac{S_{1}}{S}=\frac{E_{1}^{2}}{E^{2}}=\left(\frac{1-\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}}{1+\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}}\right)^{2},$$ коэффициент прохождения $$\rho_{d}=\frac{S_{2}}{S}=\frac{\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}E_{2}^{2}}{E^{2}}=\frac{4\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}}{\left(1+\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}\right)^{2}}.$$ Легко проверить, что для коэффициентов справедливо $\rho_{r}+\rho_{d}=1$, что эквивалентно закону сохранения энергии.