4.37. Найти сопротивление излучения симметричного полуволнового вибратора.

Рассмотрим излучатель как набор диполей, каждый из которых излучает со своей амплитудой и фазой и будем учитывать, что излучение от каждого элемента антенны будет достигать конечной точки за разное время и с разными фазами.

Дипольный точечный излучатель длины $dx$ с указанным током создает векторный потенциал в точке $r_{p}:$ $$d\vec{A}\left(r_{p},t\right)=\frac{\vec{e}_{x}}{cr_{p}}e^{-i\omega\left(t-\frac{r_{p}}{c}\right)-i\varphi\left(x\right)}I_{0}\cos kx\cdot dx$$ фаза $$\varphi\left(x\right)=kx\cos\theta.$$ Найдём теперь векторный потенциал: $$\vec{A}\left(r_{p},t\right)=\intop_{-\frac{\lambda}{4}}^{\frac{\lambda}{4}}\frac{\vec{e}_{x}}{cr_{p}}e^{-i\omega\left(t-\frac{r_{p}}{c}\right)-i\varphi\left(x\right)}I_{0}\cos kx\cdot dx= $$ $$\frac{\vec{e}_{x}I_{0}}{cr_{p}}e^{-i\omega\left(t-\frac{r_{p}}{c}\right)}\intop_{-\frac{\lambda}{4}}^{\frac{\lambda}{4}}e^{-ikx\cos\theta}\cos kx\cdot dx$$ для взятия интеграла распишем косинус $$\frac{1}{2}\intop_{-\frac{\lambda}{4}}^{\frac{\lambda}{4}}e^{-ikx\cos\theta}\left(e^{ikx}+e^{-ikx}\right)\cdot dx=$$ $$ \frac{1}{2}\left.\left(\frac{e^{ikx\left(1-\cos\theta\right)}}{ik\left(1-\cos\theta\right)}-\frac{e^{-ikx\left(1+\cos\theta\right)}}{ik\left(1+\cos\theta\right)}\right)\right|_{-\frac{\lambda}{4}}^{\frac{\lambda}{4}}=$$ $$\frac{1}{2}\left(\frac{e^{i\frac{\pi}{2}\left(1-\cos\theta\right)}}{ik\left(1-\cos\theta\right)}-\frac{e^{-i\frac{\pi}{2}\left(1+\cos\theta\right)}}{ik\left(1+\cos\theta\right)}\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{e^{-i\frac{\pi}{2}\left(1-\cos\theta\right)}}{ik\left(1-\cos\theta\right)}-\frac{e^{i\frac{\pi}{2}\left(1+\cos\theta\right)}}{ik\left(1+\cos\theta\right)}\right)=$$ $$\frac{1}{k}\left(\frac{\sin\frac{\pi}{2}\left(1-\cos\theta\right)}{1-\cos\theta}+\frac{\sin\frac{\pi}{2}\left(1+\cos\theta\right)}{1+\cos\theta}\right)=$$ $$ \frac{1}{k}\left(\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}\cos\theta\right)}{1-\cos\theta}+\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}\cos\theta\right)}{1+\cos\theta}\right)=$$ $$\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}\cos\theta\right)}{k}\cdot\frac{2}{1-\cos^{2}\theta}=\frac{2\cos\left(\frac{\pi}{2}\cos\theta\right)}{k\sin^{2}\theta}.$$ Итак, окончательно для векторного потенциала: $$\vec{A}\left(r_{p},t\right)=\frac{\vec{e}_{x}I_{0}}{cr_{p}}\cdot\frac{2\cos\left(\frac{\pi}{2}\cos\theta\right)}{k\sin^{2}\theta}\cdot e^{-i\omega\left(t-\frac{r_{p}}{c}\right)}$$ Для нахождения поля $\vec{H}$ найдём ротор векторного потенциала, но нам надо рассмотреть только волновой член. С учётом решения задач 4.4. и 4.6. $$\vec{H}=-\frac{i}{c}\left[\vec{n}\times\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}\right]=-\frac{\omega}{c}\left[\vec{n}\times\vec{A}\right]=$$ $$ -\left[\vec{n}\times\vec{e}_{x}\right]\frac{I_{0}}{cr_{p}}\cdot\frac{2\cos\left(\frac{\pi}{2}\cos\theta\right)}{\sin^{2}\theta}\cdot e^{-i\omega\left(t-\frac{r_{p}}{c}\right)}$$

с учётом $\vec{E}=\left[\vec{H}\times\vec{n}\right]$ и $|\vec{n}\times\vec{e}_{x}|=\sin\theta$

Для интенсивности $$\frac{dI}{d\Omega}=\frac{c}{4\pi}r^{2}|H|^{2}=\frac{c}{4\pi}\left(\frac{I_{0}}{c}\cdot\frac{2\cos\left(\frac{\pi}{2}\cos\theta\right)\cos\omega\left(t-\frac{r_{p}}{c}\right)}{\sin\theta}\right)^{2}$$ после усреднения по периоду: $$\left\langle \frac{dI}{d\Omega}\right\rangle =\frac{I_{0}^{2}}{2\pi c}\left(\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}\cos\theta\right)}{\sin\theta}\right)^{2}$$ Полный поток найдём интегрированием: $$\left\langle I\right\rangle =\intop_{0}^{\pi}\frac{I_{0}^{2}}{c}\left(\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}\cos\theta\right)}{\sin\theta}\right)^{2}\sin\theta\,d\theta=$$

$$\frac{I_{0}^{2}}{c}\intop_{-1}^{1}\frac{\cos^{2}\left(\frac{\pi}{2}t\right)}{1-t^{2}}dt=\frac{1}{2}\left(\gamma-{\it Ci}\left(2\pi\right)+\ln\left(2\pi\right)\right)\frac{I_{0}^{2}}{c}\approx\frac{1,22\cdot I_{0}^{2}}{c}$$

Интеграл взят в программе Maple.

Таким образом,

$$R_{\text{изл}}=\frac{\left\langle P_{\text{изл}}\right\rangle }{\left\langle I^{2}\right\rangle }=\frac{\frac{1,22\cdot I_{0}^{2}}{c}}{\frac{I_{0}^{2}}{2}}=\frac{2,44}{c}$$ переходя в систему СИ $$R_{\text{изл}}=\frac{2,44\cdot9\cdot10^{11}}{3\cdot10^{10}}\approx73 \text{ Ом.}$$