3.34. Принимая интенсивность падающего пучка за единицу, найти интенсивность проходящего и отраженного пучков при многократной интерференции на плоскопараллельной пластинке (поглощение света отсутствует).

Падает луч света интенсивностью $I_{0}$ и отражается от границы с энергетическим коэффициентом отражения — $R.$ Тогда интенсивности прошедших лучей выразятся в виде

$$I_{1'}=\left(1-R\right)^{2}I_{0},$$

$$I_{2'}=R^{2}I_{1'}=R^{2}\left(1-R\right)^{2}I_{0},$$

$$I_{3'}=R^{2}I_{2'}=R^{4}\left(1-R\right)^{2}I_{0},$$

т.е. на $m+1$ шаге

$$I_{m+1}=R^{2m}\left(1-R\right)^{2}I_{0}.$$

Амплитуда электрического поля $E\sim\sqrt{I}$ так, что

$$E_{m+1}=R^{m}\left(1-R\right)E_{0}.$$

Разность хода между двумя соседними лучами (возьмём из задачи 3.33) $$\Delta=2nd\cos\beta,$$ тогда суммарная амплитуда прошедшей волны с учётом набега фазы $$\varphi=k\Delta=\frac{4\pi nd\cos\beta}{\lambda}:$$

$$E={\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty}E_{m+1}e^{im\varphi}=\left(1-R\right)E_{0}\sum_{m=0}^{\infty}e^{im\varphi}R^{m}}=\left(1-R\right)E_{0}\frac{1}{1-e^{i\varphi}R}.$$

Найдём, теперь интенсивность прошедшей волны $I\sim EE^{*}$:

$$I_{D}=\left(1-R\right)^{2}I_{0}\frac{1}{\left(1-e^{i\varphi}R\right)\left(1-e^{-i\varphi}R\right)}=\frac{\left(1-R\right)^{2}I_{0}}{1+R^{2}-2R\cos\varphi}=$$

$$\frac{\left(1-R\right)^{2}I_{0}}{\left(1-R\right)^{2}+2R\left(1-\cos\varphi\right)}=\frac{\left(1-R\right)^{2}I_{0}}{\left(1-R\right)^{2}+4R\sin^{2}\frac{\varphi}{2}}=\frac{I_{0}}{1+R\left(\frac{2\sin\frac{\varphi}{2}}{1-R}\right)^{2}}.$$

Интенсивность отражённой волны найдём из закона сохранения энергии (при отсутствии поглощения и рассеяния):

$$I_{R}=I_{0}-I_{D}=\frac{4I_{0}R\sin^{2}\frac{\varphi}{2}}{\left(1-R\right)^{2}+4R\sin^{2}\frac{\varphi}{2}}.$$