4.46. При каком сдвиге фаз $\alpha $ и расстоянии $\ell $ между двумя штыревыми антеннами 1 и 2, вставленными в бесконечный прямоугольный волновод сечением $a \times b,$ возбуждаемая на частоте $\omega $ $H_{10}$–волна будет распространяться лишь в одном направлении?

В $z$ направлении для волны $H_{10}$ имеем $$k_{z}=\sqrt{\left(\frac{\omega}{c}\right)^{2}-\left(\frac{\pi}{a}\right)^{2}}.$$ тогда поле от штырей в направлении $z$

$$H\sim H_{0}e^{-i\omega t+ik_{z}z}\left(1+e^{i\phi+ik_{z}\ell}\right)\sim\cos\left(\frac{\phi+k_{z}\ell}{2}\right)$$ а в обратном направлении $$H\sim H_{0}e^{-i\omega t-ik_{z}z}\left(1+e^{i\phi-ik_{z}\ell}\right)\sim\cos\left(\frac{\phi-k_{z}\ell}{2}\right)$$ тогда $$\frac{\phi+k_{z}\ell}{2}=\pi p$$ и $$\frac{\phi-k_{z}\ell}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi q$$ Решением системы будет $$\ell=\frac{\pi}{2k_{z}}\left(2m+1\right)$$ и $$\phi=\frac{\pi}{2}\left(2n-1\right)$$