4.38. а) Построить полярную диаграмму направленности для излучения диполя в плоскости, проходящей через ось диполя, и в плоскости, перпендикулярной оси.
б) Нарисовать качественно вид полярной диаграммы направленности для антенны, состоящей из двух полуволновых вибраторов, параллельных друг другу, если расстояние между ними:
1) $a = \frac \lambda 2$, токи совпадают по фазе;
2) $a = \frac \lambda 2$, токи в противофазе;
3) $a = \lambda $, токи в противофазе;
4) $a = \frac \lambda 4$, токи сдвинуты по фазе на $\frac \pi 2$.
а)
Для ответа на вопрос а) воспользуемся решением задачи 4.7. в которой получено распределение излучения диполя $$\frac{dI}{d\theta}=\frac{\ddot{p}^{2}\sin^{3}\theta}{2c^{3}}.$$
Зависимость есть только от одного угла — $\theta $, меняющегося в пределах от $0$ до $\pi .$
Графически можно представить в виде:
Так как по углу $0\leq \alpha \leq \pi$ зависимости нет, то распространение во все стороны — равномерное.
б)
Перейдём теперь к полуволновому вибратору из задачи 4.37.
В которой мы нашли распределение излучения:
$$\left\langle \frac{dI}{d\Omega}\right\rangle =\frac{I_{0}^{2}}{2\pi c}\left(\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}\cos\theta\right)}{\sin\theta}\right)^{2}$$
Как видим у него тоже зависимость есть только от одного угла — $\theta $.
Теперь разместим два вибратора — появится зависимость от угла $\alpha $. Найдём эту зависимость.
1)
1) $a = \frac \lambda 2$, токи совпадают по фазе.
Токи совпадают по фазе, но в зависимости от угла $\alpha$ поля будут с разными фазами (поля электромагнитной волны):
$$H=H_{1}+H_{2}=H_{1}+H_{1}e^{ik\Delta}=H_{1}\left(1+e^{ika\sin\alpha}\right)=$$ $$ H_{1}\left(1+e^{i\pi\sin\alpha}\right)= 2e^{i\frac{\pi}{2}\sin\alpha}H_{1}\cos\left(\frac{\pi}{2}\sin\alpha\right),$$
тогда $$I=4I_{0}\cos^{2}\left(\frac{\pi}{2}\sin\alpha\right).$$
Диаграмма направленности:
2)
$a = \frac \lambda 2$, токи в противофазе;
$$H=H_{1}+H_{2}=H_{1}-H_{1}e^{ik\Delta}=H_{1}\left(1-e^{ika\sin\alpha}\right)=$$ $$ H_{1}\left(1-e^{i\pi\sin\alpha}\right)=2ie^{i\frac{\pi}{2}\sin\alpha}H_{1}\sin\left(\frac{\pi}{2}\sin\alpha\right)$$
тогда $$I=4I_{0}\sin^{2}\left(\frac{\pi}{2}\sin\alpha\right).$$
Диаграмма направленности:
3)
3) $a = \lambda $, токи в противофазе;
$$H=H_{1}+H_{2}=H_{1}-H_{1}e^{ik\Delta}=H_{1}\left(1-e^{ika\sin\alpha}\right)=$$
$$
H_{1}\left(1-e^{i2\pi\sin\alpha}\right)=2ie^{i\pi\sin\alpha}H_{1}\sin\left(\pi\sin\alpha\right)
$$
тогда $$I=4I_{0}\sin^{2}\left(\pi\sin\alpha\right).$$
Диаграмма направленности:
4)
$a = \frac \lambda 4$, токи сдвинуты по фазе на $\frac \pi 2$.
$$H=H_{1}+H_{2}= H_{1}+e^{i\frac{\pi}{2}}H_{1}e^{ik\Delta}=$$
$$
H_{1}\left(1+e^{i\frac{\pi}{2}+ika\sin\alpha}\right)= H_{1}\left(1+e^{i\frac{\pi}{2}+i\frac{\pi}{2}\sin\alpha}\right)=$$
$$
2e^{i\frac{\pi}{4}\left(1+\sin\alpha\right)}H_{1}\cos\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\sin\alpha\right)$$
тогда $$I=4I_{0}\cos^{2}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\sin\alpha\right).$$
Диаграмма направленности:
