4.69. Найти дифференциальное сечение рассеяния плоской линейно поляризованной монохроматической волны на маленьком шаре ($\lambda \gg a$). В поле электромагнитной волны у шара возникают дипольный электрический $\vec d = \alpha \vec E$ и магнитный $\vec m = \beta \vec H$ моменты.

Выберем систему координат так, что

$$E_{x}=E_{0}e^{ikz-i\omega t},\,H_{y}=H_{0}e^{ikz-i\omega t}$$ тогда $$d_{x}=\alpha E_{0}e^{ikz-i\omega t},\,m_{y}=\beta H_{0}e^{ikz-i\omega t}$$ и $$\ddot{d}_{x}=-\omega^{2}\alpha E_{0}e^{ikz-i\omega t},\,\ddot{m}_{y}=-\omega^{2}\beta H_{0}e^{ikz-i\omega t}.$$ Для волны мы находили магнитное поле:

$$\vec{H}_{d}=\frac{\left[\ddot{\vec{d}}\times\vec{n}\right]}{c^{2}r},\,\vec{H}_{m}=\frac{\left[\left[\ddot{\vec{m}}\times\vec{n}\right]\times\vec{n}\right]}{c^{2}r},$$ но так как $\vec{m}\bot\vec{d}$, то $\vec{H}_{d}\Vert\vec{H}_{m}$, следовательно, $$\vec{H}=\vec{H}_{d}+\vec{H}_{m}=\frac{1}{c^{2}r}\left[\left(\ddot{\vec{d}}+\left[\ddot{\vec{m}}\times\vec{n}\right]\right)\times\vec{n}\right],$$ тогда $$\left\langle \frac{dI}{d\Omega}\right\rangle =\frac{\left\langle \left(\ddot{\vec{d}}+\left[\ddot{\vec{m}}\times\vec{n}\right]\right)^{2}\right\rangle }{4\pi c^{3}}=\frac{\left(\alpha+\beta\right)^{2}H_{0}^{2}\omega^{4}\sin^{2}\theta}{8\pi c^{3}},$$ $$\left\langle S_{0}\right\rangle =\frac{c}{4\pi}\left\langle E^{2}\right\rangle =\frac{cE_{0}^{2}}{8\pi},$$ $$\frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{\left\langle \frac{dI}{d\Omega}\right\rangle }{\left\langle S_{0}\right\rangle }=\frac{\left(\alpha+\beta\right)^{2}\omega^{4}\sin^{2}\theta}{c^{4}}.$$