1. Рабочее тело идеальный газ теплового двигателя совершает цикл, состоящий из последовательных процессов изобарного адиабатного и изотермического. В результате изобарного процесса газ нагревается от ${Т}_{1}=300$ К до ${Т}_{2}=600$ К. Определите термический КПД теплового двигателя.
$\eta=\frac{Q_{1}+Q_{2}}{Q_{1}}=\frac{Q_{1}-|Q_{2}|}{Q_{1}}=1-\frac{|Q_{2}|}{Q_{1}}$
В нашем случае $\eta=1-\frac{|Q_{31}|}{Q_{12}}$
Начнём с картинки.
Найдём сначала из $\delta Q=\nu C_{p}dT$ интегрированием $Q_{12}=\nu C_{p}\left(T_{2}-T_{1}\right)$.
Далее газ адиабатно расширяется $T_{2}V_{2}^{\gamma-1}=T_{3}V_{3}^{\gamma-1}$
затем изотермально сжимается отдавая тепло $Q_{31}=A+\Delta U=A$ так, что $Q_{31}=\int_{V_{3}}^{V_{1}}p\,dV=p_{3}V_{3}\ln\frac{V_{1}}{V_{3}}=\nu RT_{1}\ln\frac{V_{1}}{V_{3}},$ где в интеграле использовали $pV=p_{3}V_{3}$ уравнение состояния при $T=\text{const}.$
Отношение объёмов $\frac{V_{1}}{V_{3}}=\frac{V_{2}T_{1}}{V_{3}T_{2}}=\sqrt[\gamma-1]{\frac{T_{1}}{T_{2}}}\frac{T_{1}}{T_{2}}=\left(\frac{T_{1}}{T_{2}}\right)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}.$ Тогда
$\eta=1-\frac{|Q_{2}|}{Q_{1}}=1-\frac{RT_{1}\frac{\gamma}{\gamma-1}\ln\frac{T_{2}}{T_{1}}}{C_{p}\left(T_{2}-T_{1}\right)}$, с учётом $\gamma=\frac{C_{p}}{C_{V}}$ и $C_{p}=C_{V}+R$ получим, что $\frac{\gamma}{\gamma-1}=\frac{C_{p}}{R}$ и окончательно
$\eta=1-\frac{T_{1}\ln\frac{T_{2}}{T_{1}}}{T_{2}-T_{1}}=1-\frac{\ln\frac{T_{2}}{T_{1}}}{\frac{T_{2}}{T_{1}}-1}$
2. Найти КПД цикла, состоящего из изобары, изохоры (${Т}_{2}$) и изотермы ($T_{1}$) как функцию величин температур ${Т}_{2}$ и ${Т}_{1}$ (${Т}_{2}>{Т}_{1}$)
$Q_{12}=\nu C_{P}(T_{2}-T_{1})$
$Q_{23}=\nu C_{V}(T_{3}-T_{2})=\nu C_{V}(T_{1}-T_{2})$
$Q_{31}=A+\Delta U$
в прошлой задаче уже вычисляли
$Q_{31}=\nu RT_{1}\ln\frac{V_{1}}{V_{3}},$
Но с учётом того, что сначала процесс был изобарный, а потом изохорный, можем записать
$\frac{V_{1}}{V_{3}}=\frac{T_{1}V_{2}}{V_{3}T_{2}}=\frac{T_{1}}{T_{2}}$ тогда
$Q_{31}=\nu RT_{1}\ln\frac{T_{1}}{T_{2}}$ и окончательно $\eta=1-\frac{|Q_{2}|}{Q_{1}}=1-\frac{|Q_{23}+Q_{31}|}{Q_{12}}=1-\frac{|C_{V}(T_{1}-T_{2})+RT_{1}\ln\frac{T_{1}}{T_{2}}|}{C_{P}(T_{2}-T_{1})}=1-\frac{C_{V}(T_{2}-T_{1})+RT_{1}\ln\frac{T_{2}}{T_{1}}}{C_{P}(T_{2}-T_{1})}$
$\eta=\frac{R(T_{2}-T_{1})-RT_{1}\ln\frac{T_{2}}{T_{1}}}{C_{P}(T_{2}-T_{1})}$
3. Многоатомный идеальный газ совершает цикл Карно, при этом в процессе адиабатного расширения объем газа увеличивается в $n=4$ раза. Определите термический КПД цикла.
$Q_{12}=RT_{1}\intop_{V_{1}}^{V_{2}}\frac{dV}{V}=RT_{1}\ln\frac{V_{2}}{V_{1}}$
аналогично
$Q_{34}=RT_{2}\ln\frac{V_{4}}{V_{3}}$
Из уравнений адиабаты $T_{1}V_{2}^{\gamma-1}=T_{2}V_{3}^{\gamma-1}$ и $T_{1}V_{1}^{\gamma-1}=T_{2}V_{4}^{\gamma-1}$ получаем $\left(\frac{V_{3}}{V_{4}}\right)^{\gamma-1}=\frac{T_{1}}{T_{2}}\left(\frac{V_{2}}{V_{4}}\right)^{\gamma-1}=\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right)^{\gamma-1}$тогда $\eta=1-\frac{|Q_{2}|}{Q_{1}}=1-\frac{|Q_{34}|}{Q_{12}}=1-\frac{T_{2}}{T_{1}}=1-\left(\frac{1}{n}\right)^{\gamma-1}$.
С учётом $\frac{T_{1}}{T_{2}}=\left(\frac{V_{3}}{V_{2}}\right)^{\gamma-1}=n^{\gamma-1}$
$\eta=1-\frac{T_{2}}{T_{1}}=1-\left(\frac{1}{n}\right)^{\gamma-1}$
4. Идеальный газ, совершающий цикл Карно, получив от нагревателя количество теплоты $Q_{1}=4,2$ кДж, совершил работу ${А}=590$ Дж. Найти КПД этого цикла. Во сколько раз температура ${Т}_{1}$ нагревателя больше температуры ${Т}_{2}$ охладителя?
Исходя из $\eta=\frac{Q_{1}-|Q_{2}|}{Q_{1}}=1-\frac{T_{2}}{T_{1}}$ и $A=Q_{1}-|Q_{2}|$ получим $\eta=\frac{Q_{1}-|Q_{2}|}{Q_{1}}=\frac{A}{Q_{1}}$, тогда $\frac{T_{1}}{T_{2}}=\frac{1}{1-\frac{A}{Q_{1}}}$
5. Идеальная холодильная машина, работающая по обратному циклу Карно, совершает за один цикл работу ${А}=37$ кДж. При этом она берет тепло от тела с температурой ${Т}_{1}=10$ С$^{\circ}$ и передает тепло телу с температурой ${Т}_{2}=17$ С$^{\circ}$. Найти КПД цикла, количество теплоты, $Q_{2},$ отнятое у холодного тела, и количество теплоты $Q_{1},$ переданное более горячему телу за один цикл.
$\eta=1-\frac{T_{2}}{T_{1}}$, а из $\eta=\frac{Q_{1}-|Q_{2}|}{Q_{1}}=\frac{A}{Q_{1}}$ найдём $Q_{1}=\frac{A}{\eta}$, а из $A=Q_{1}-|Q_{2}|$ найдём $|Q_{2}|=Q_{1}-A.$
6. Изменение энтропии на участке между двумя адиабатами в цикле Карно $\Delta S=4,19$ кДж/К. Разность температур между двумя изотермами $\Delta T=100$ К. Какое количество теплоты $Q$ превращается в работу в этом цикле?
Изменение энтропии идеального газа при изотермическом процессе
$\Delta S=\intop dS=\int\frac{dQ}{T}=\frac{1}{T}\int dQ=\frac{Q_{1}}{T}$
Работа
$A=Q_{1}-|Q_{2}|=Q_{1}\left(1-\frac{|Q_{2}|}{Q_{1}}\right)=Q_{1}\eta=Q_{1}\left(1-\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)=\frac{Q_{1}}{T_{1}}\left(T_{1}-T_{2}\right)=\Delta S\Delta T$
7. Найти изменение $\Delta S$ энтропии при превращении массы $m=10$ г. льда ($t_{1}=20$ C$^{\circ}$) в пар при ($t_{3}=100$ С$^{\circ}$). Теплота плавления $q_{{пл}}$ и теплота парообразования $q_{{пар}}$ известны.
Сначала тепло идёт на нагрев льда, затем плавление, далее нагрев воды и на последнем этапе превращение в пар.
$\Delta S_{1}=\intop_{T_{1}}^{T_{2}}\frac{dQ}{T}=\intop_{T_{1}}^{T_{2}}mC_{\text{л}}\frac{dT}{T}=mC_{\text{л}}\ln\frac{T_{2}}{T_{1}},$ где $C_{\text{л}}$ удельная теплоёмкость льда $T_{i}=t_{i}+273$, $T_{2}=273$ K$^{\circ}.$
$\Delta S_{2}=\frac{q_{\text{пл}}}{T_{2}}$, $\Delta S_{3}=mC_{\text{в}}\ln\frac{T_{3}}{T_{2}},$ $\Delta S_{4}=\frac{q_{\text{пар}}}{T_{3}}$ так, что $\Delta S=\Delta S_{1}+\Delta S_{2}+\Delta S_{3}+\Delta S_{4}$
8. Во сколько раз необходимо увеличить объем ($\nu=5$ моль) идеального газа при изотермическом расширении, если его энтропия увеличилась на $\Delta S=57,6$ Дж/К?
При изотермическом процессе $Q=A+\Delta U=A+0$
Найдём работу $A=\int pdV=p_{1}V_{1}\int\frac{dV}{V}=p_{1}V_{1}\ln\frac{V_{2}}{V_{1}}=\nu RT\ln\frac{V_{2}}{V_{1}}$
Изменение энтропии $\Delta S=\int\frac{dQ}{T}=\frac{1}{T}\int dQ=\frac{Q}{T}=\frac{A}{T}=\nu R\ln\frac{V_{2}}{V_{1}}$
Следовательно, $\frac{V_{2}}{V_{1}}=\exp\left(\frac{\Delta S}{\nu R}\right)$
9. При нагревании двухатомного идеального газа ($\nu=2$ моль) его термодинамическая температура увеличилась в $n=2$ раза. Определите изменение энтропии, если нагревание происходит: 1) изохорно; 2) изобарно.
$\Delta S_{1}=\int\frac{dQ}{T}=\int\frac{\nu C_{V}dT}{T}=\nu C_{V}\ln\frac{T_{2}}{T_{1}}=\left.\nu\frac{i}{2}R\ln\frac{T_{2}}{T_{1}}\right|_{i=5}=\frac{5}{2}\nu R\ln\frac{T_{2}}{T_{1}}$
$\Delta S_{2}=\int\frac{dQ}{T}=\int\frac{\nu C_{p}dT}{T}=\nu C_{p}\ln\frac{T_{2}}{T_{1}}=\left.\nu\frac{i+2}{2}R\ln\frac{T_{2}}{T_{1}}\right|_{i=5}=\frac{7}{2}\nu R\ln\frac{T_{2}}{T_{1}}$
10. Азот массой 28 г адиабатно расширили в $n=2$ раза, а затем изобарно сжали до начального объема. Определите изменение энтропии газа в ходе указанных процессов.