1.14. Полусфера радиуса $R$ равномерно заряжена с поверхностной плотностью $\sigma$. Найти потенциал в некоторой точке экваториальной плоскости, отстоящей на расстоянии $a$ от оси симметрии полусферы.

Потенциал в точке \(A\), если сфера полная \[ \varphi = \varphi _A^+ + \varphi _B^- \] \(\varphi _A^ +\) — потенциал в точке \(A\) от верхней полусферы. \(\varphi _B^{-}\) — потенциал от нижней полусферы в точке \(B\).

В силу осевой симметрии \(\varphi _A = \varphi _B\); \(\varphi = 2\varphi _A\).

Легко понять, что потенциал внутри сферы в любой точке \(\varphi = const = \varphi _0\). Это можно объяснить вращением сферы, при которой ничего не меняется \(\varphi _A = \frac{{\varphi _0 }}{2}\).

Тоже самое можно сказать о потенциале снаружи от всей сферы. \[ \varphi _{\text{внешн}} = \frac{{\sigma 4\pi R^2 }}{a} \] \[ \varphi _{\text{внешн}}^{(\frac{1}{2})} = \frac{1}{2}\varphi _{\text{внешн}} = \frac{{2\pi \sigma R^2 }}{a} \] Из непрерывности \[ \varphi _{\text{внутр}} = 2\pi \sigma a\frac{{R^2 }}{R} = 2\pi \sigma R \]