182. Ёмкости двух уединённых проводников равны $C_1$ и $C_2$. Эти проводники находятся в однородном диэлектрике с проницаемостью $\varepsilon $ вакууме на расстоянии $r,$ большом по сравнению с их собственными размерами.

Показать, что ёмкостные коэффициенты системы равны: $$ c_{11}=C_1\bigl(1+\frac{C_1C_2}{r^2}\bigr), \hspace{10pt} c_{12}=-\frac{C_1C_2}{r}, \hspace{10pt} c_{22}=C_2\bigl(1+\frac{C_1C_2}{r^2}\bigr). $$

УКАЗАНИЕ. Определить сначала потенциальные коэффициенты с точностью до величины $\frac 1r.$

Так как расстояния r между проводниками много больше их размеров, то можно рассматривать их как точечные, тогда потенциал первого шара: $$ \varphi_{1}=\frac{q_{1}}{C_{1}}+\frac{q_{2}}{r} $$ второго $$ \varphi_{2}=\frac{q_{1}}{r}+\frac{q_{2}}{C_{2}}. $$ Таким образом матрица потенциальных коэффициентов: $$ S=\left(\begin{array}{cc} C_{1}^{-1} & r^{-1}\\ r^{-1} & C_{2}^{-1} \end{array}\right) . $$ Ёмкостная матрица будет ей обратная $$ C=S^{-1}=\left(\begin{array}{cc} C_{1}^{-1} & r^{-1}\\ r^{-1} & C_{2}^{-1} \end{array}\right)^{-1}=\frac{1}{C_{1}^{-1}C_{2}^{-1}-r^{-2}}\left(\begin{array}{cc} C_{2}^{-1} & -r^{-1}\\ -r^{-1} & C_{1}^{-1} \end{array}\right), $$ тогда с учётом малости $\frac 1r$: $$ \frac{1}{C_{1}^{-1}C_{2}^{-1}-r^{-2}}=\frac{C_{1}C_{2}}{1-\frac{C_{1}C_{2}}{r^2}}\approx C_{1}C_{2}\left(1+\frac{C_{1}C_{2}}{r^2}\right). $$ Оставив только первые и вторые степени по $r$, действительно получим, что: $$ c_{11}=C_1\bigl(1+\frac{C_1C_2}{r^2}\bigr), \hspace{10pt} c_{12}=-\frac{C_1C_2}{r}, \hspace{10pt} c_{22}=C_2\bigl(1+\frac{C_1C_2}{r^2}\bigr). $$