1.44. Найти потенциал электрического поля на больших расстояниях от линейного октуполя.

Рассмотрим сферическую систему координат с нулевым углом $\theta$ по оси Z, тогда для линейного октуполя отсутствует зависимость потенциала от угла $\phi$. Разложим выражение $\frac{1}{\sqrt{(z-b)^2+r^2}}$, где $r^2=x^2+y^2$, в ряд Тейлора по малому параметру $b \ll z$: $$ \frac{1}{\sqrt{(z-b)^2+r^2}}\approx \frac{1}{R}+\frac{zb}{R^{3}}+\frac{\left(-R^{2}+3z^{2}\right)b^{2}}{2R^{5}}+\frac{\left(-3R^{2}+5z^{2}\right)zb^{3}}{2R^{7}}+O(b^4). $$ В линейном октуполе, как легко увидеть, суммарный заряд и дипольный момент равны нулю. Чуть сложнее убедиться, что и квадрупольный момент, так же равен нулю $$ D_{zz}=D_{xx}=D_{yy}=D_{xy}=D_{xz}=0, $$ следовательно, в сумме $$ \varphi = \frac{-q}{\sqrt{z^2+r^2}}+\frac{3q}{\sqrt{(z-a)^2+r^2}}-\frac{3q}{\sqrt{(z-2a)^2+r^2}}+\frac{q}{\sqrt{(z-3a)^2+r^2}} $$ после подстановки разложения в ряд нужно обращать только на члены содержащие $(\frac aR)^3$, так как члены не содержащие $a$ входят в суммарный заряд, члены с $\frac aR$ входят в дипольный момент, а с $(\frac aR)^2$ — квадрупольный. Тогда после подстановки: $$ \varphi \approx 3\frac{qa^{3}z\left(5z^{2}-3R^{2}\right)}{R^{7}}. $$ Заменив $z=R\cos\theta$ придём к окончательному резульату: